Applicazioni analitiche dei gruppi di proiettività eco. 
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Se ora F è una funzione p. es. razionale di u v e regolare 
nel campo (interno alla (2) ) della loro variabilità e perciò infe- 
riore a una costante determinata in questo campo, e se noi in- 
dichiamo con F(C n ) il suo valore nel punto C n , la serie 
(9) S F (G n ) Il 
n 
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è assolutamente e uniformemente convergente se k >> ~ perchè 
la F è finita e la (7) è assolutamente e uniformemente conver- 
gente. Una tal serie per una trasformazione T k del gruppo è 
moltiplicata come io ho già osservato altrove (*) per un fattore 
dipendente solo da T k : il quoziente di due tali serie rappresenta 
perciò una funzione invariante per il gruppo. 
Nella nota citata io avevo dimostrato resistenza di tali fun- 
zioni ; il risultato fondamentale e nuovo è che queste funzioni 
sono funzioni continue dei parametri definenti il gruppo, appunto 
come avviene per le funzioni fu eli siane di Poincaré. 
Ma le nostre metriche possono condurre rapidamente a un 
altro risultato ben più importante , alla generalizzazione cioè 
delle funzioni zetafuchsiane di Poincaré (**). 
Consideriamo a tal line un gruppo V iperfuchsiano , il cui 
poliedro generatore sia tutto a distanza (non euclidea) finita e sia 
G un gruppo di sostituzioni lineari omogenee su p variabili a 
lui oloedricamente o meri edricam ente isomorfo. Siano H x , //., ...., 
H p p funzioni razionali delle u x , u 2 regolari nel campo interno 
alla (2); noi ne indicheremo con H t (C t ) 2 ,..., p) i va- 
lori nel punto 0; trasformato di G per il movimento T { . La 
trasformazione di G corrispondente a 1\ si indichi con S t . 
Una trasformazione S { applicata a p quantità qualsiasi 
h p , le porta in p loro combinazioni lineari che noi indicheremo 
con \ i Si , Si , .... , l p Si . 
(') In una nota cioè ora in corso di stampa negli « Annali di Matematica 
(**) Acta Mathematica Tomo 5. 
