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Guido Fubini 
[Memoria IX.] 
Costruiamo le p serie : 
(10) ^ = 2 | [ (C)J lì (n = 1, 2, .... P ) 
Si può dimostrare al modo stesso di Poincaré (*) : 
I. Se le (10) sono assolutamente e uniformemente conver- 
£ 
genti le -L dove è una qualunque delle serie (9) considerate 
come funzioni del punto C , subiscono la trasformazione S k , se 
al punto C viene applicato il movimento T k . 
II. Esiste una costante a tale che se la geodetica congiun- 
gente il punto C al punto Ci lia una lunghezza (non euclidea) 
Li , il numero n dei poliedri fondamentali che essa attraversa è 
tale che n < a L { . 
III. Esiste una costante M indipendente da i , tale che i 
coefficienti di e di 8~ x sono minori in valore assoluto di M n 
ossia di e L i°- lo s M ; posto N — a log M, essi quindi sono minori 
di e NL t . 
Per dimostrare dunque l’esistenza di funzioni analitiche tali 
che, mentre C subisce una trasformazione T k , subiscano la trasfor- 
mazione 8 k basta dimostrare la convergenza assoluta uniforme 
entro 1’ intorno a di C della (10) ossia poiché le H , funzioni 
regolari entro la (2) , sono finite , basta dimostrare la conver- 
genza della serie di cui il termine i esimo è il prodotto di lf 
per un coefficiente della trasformazione 8~ x . Ricordando la pro- 
prietà enunciata di tali coefficienti , si vede che basterà dimo- 
strare la convergenza della serie 
(11) £ e NLi If 
(*) Cfr. loc. cit. pag. 232-233-234. 
