Applicazioni analitiche dei gruppi di proiettività ecc. 
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dove Li è come sappiamo la distanza geodetica Ci C ; questa di- 
stanza è in generale minore (o se si vuole è dell’ ordine di 
grandezza) di C { 0 -f- OC dove O sia 1’ origine ; basterà perciò in- 
dicando con Vi il raggio vettore non euclideo di 6) dimostrare la 
convergenza della 
Ora per la (6) è (indicando con r il raggio vettore di C) 
- (, ) 
V e 1 — e r 7 
-'■\6 
E da ciò si deduce tosto che si può scegliere una costante 
tale che 
I e Sr ‘ | < | I? | 
Basterà perciò dimostrare la convergenza assoluta di S 7/+P 
e noi sappiamo già che una tale serie converge assolutamente 
e in ugual grado se h -f- p >> -jj-, ossia se Jc è abbastanza grande. 
TJ esistenza delle nostre funzioni è così dimostrata. 
Noi abbiamo così visto con quanta semplicità le nostre me- 
triche permettano di estendere a campi tanto più vasti le ge- 
niali concezioni di Poincaré e quanta rapidità esse consentano 
nelle dimostrazioni. Noi ora vorremo indicare alcune conseguenze 
del nostro ultimo teorema, che mi sembrano del massimo inte- 
resse. Come dimostrò Picard (*) in un caso particolare , tra le 
funzioni di u i , u 2 invarianti per un gruppo P iperfuclisiano ne 
esistono due tali che ogni altra funzione invariante per lo stesso 
gruppo è funzione algebrica di quelle ; diremo r t due tali fun- 
zioni ; consideriamo un sistema di p funzioni £ 2 .... di u v u 2 
(*) Acta Mathematica tomo 5. 
Atti Acc. Serie 4 a , Vol. XVII — Mem. IX. 
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