Le trasformazioni (2, 2) quadratiche e cubiche di spazio 
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timo ordine, con le rette q e <{ doppie, e tale che un piano ge- 
nerico condotto per lina di queste, incontra ancora la superficie 
in due punti. Osserviamo però che di questa superficie fa parte 
una rigata del quart’ordiue, avente le rette q e q' per direttrici 
doppie, e ciò per il fatto che ad un punto qualunque di d cor- 
rispondono due punti di d\ e viceversa. La parte rimanente Q 
è dunque una superficie cubica , la quale al variare dell 1 iper- 
piano A, genera una varietà a tre dimensioni F, anch’essa del 
terz’ordine. Di questa non fanno parte le q , q , ma ciascuna di 
esse F incontra in un sol punto Q , Q', giacché un piano per q 
o per q’ deve secare ulteriormente la varietà T in soli due punti. 
Viceversa, sian dati nello spazio 8. , una varietà cubica F a 
tre dimensioni, due rette (sghembe) generiche q e q ciascuna 
incidente in un punto F, e due spazi ordinari S e 8’ aventi in 
comune una retta solamente. Chiamando omologhi due punti 
uno di 8 e uno di 8', ogni qual volta sian proiezioni da q e 
da q di uno stesso punto di T, si viene a stabilire fra i detti 
spazi, una corrispondenza algebrica (2,2), che indicheremo con T. 
Se r è una retta generica di 8 , lo spazio ordinario qr seca F in 
una cubi®, sghemba, la quale è proiettata da q' sopra 8, in 
un’altra cubica sghemba, e ciò perchè lo spazio (generico) qr non 
incontra la retta q. Se invece r si appoggia alla retta d = qq'. 8 , 
la cubica r è piana e razionale , e quindi segue che ciascuna 
retta di S incidente d , possiede una coppia di punti congiunti. 
Concludiamo dunque che 
« la più generale Irasfonnazione cubica del terzo tipo e del ■ sotto- 
tipo a ), si puh sempre ottenere , a meno di trasformazioni omogra- 
fiche , mediante proiezione dei punti di una varietà cubica a tre di- 
mensioni di S , da due rette di questo spazio , incidenti in un punto 
la detta varietà ». 
5. Von insisteremo ancora nella ricerca delle proprietà proiet- 
tive della trasformazione T , giacché ciò è cosa facile a farsi 
studiando sulla varietà F. Si trova, p. es., che « le superficie li- 
