Le trasformazioni (2, 2) quadratiche e cubiche di spazio 
di queste due rette sono doppie e corrispondenti per T, e inoltre 
esse non sono fondamentali per questa medesima trasformazione. 
Ne segue che ogni trasformazione (t, -') fra due piani - e x = u> - 
dei fasci (7/ ) e (li) , è cubica (di genere nullo) ; infatti se fosse 
quadratica ad ogni punto della retta h — li dovrebbe corri- 
spondere una retta in 8' — in 8 — , cioè h e li dovrebbero es- 
sere fondamentali , e ciò non è. Viceversa supposta cubica la 
(-, f) , ogni punto delle rette d e d' è fondamentale ( di 2 a classe) 
per T. e quindi la trasformazione è quadratica, visto che 
ad un punto qualunque di d — di d' — corrisponde una retta 
in 8' — in 8 — . In seguito supporremo precisamente che sia 
quadratica la trasformazione che intercede fra due piani come % 
e ; e supporremo cubica (di genere nullo) ciascuna trasforma- 
zione come (-, f). Osserviamo , ancora , che a d — a d' — corri- 
sponde in 8' — in 8 — la retta d! — d — , insieme con un pia- 
no fondamentale. 
5. Supponiamo che gli spazi 8 e 8' siano immersi nello 
spazio V da cinque dimensioni, e procediamo similmente a co- 
me si fece nel § I del capitolo precedente. Nel presente caso 
un iperpiano generico condotto per lo spazio ordinario qq, seca 
la varietà F lungo una rigata del quarto ordine passante per le 
rette </ e q. Dunque r è costituita da un sistema algebrico o di 
piani, semplicemente infinito e razionale , che ha per direttrice 
la conica ulteriore intersezione di F con lo spazio ordinario qq'. 
Viceversa è chiaro che mediante la varietà F si può con proie- 
zioni opportune ottenere fra due spazi ordinari 8 e 8 una tra- 
sformazione cubica (2,2) del 3° tipo e del sottotipo b). 
Non insisteremo sullo studio della trasfonnazione 7 6 7 , che o- 
ramai può facilmente esser fatto mercè la varietà F. 
6. Dimostriamo ora quanto si asserì nel § 1 del presente 
capitolo, cioè che le rette p contenenti infinite coppie di punti 
congiunti, devono essere necessariamente autocòngiunte. Infatti 
