Prof. G. Pennacchietti 
[Memoria XIX.J 
essendo «p A , cp 2 , <p 3 le stesse funzioni clie compariscono nei primi 
membri delle (2), nelle quali, invece di r, , £ , tj' , Zi , sieno po- 
ste rispettivamente le quantità — , — y/#' , xz — zx' . 
Di questo teorema che risulta da una memoria del Ber- 
trand (*) e dalla mia tesi di abilitazione (**) e che è il punto di 
partenza della presente ricerca, può darsi la seguente dimostra- 
zione semplicissima diretta. 
Sia : 
F (x, y , z , x , xf , z) — C , 
ove C è una costante arbitraria, un integrale primo, indipen- 
dente dal tempo, comune a tutti gli infiniti sistemi (3) sod- 
disfacenti alle due condizioni (4), intendendosi che le due fun- 
zioni <p(vj , z) , ^(tj , Z) siano le stesse per tutti questi infiniti si- 
stemi. 
Si avrà : 
dF 
3* 
3F_ / ,9£/_j_3£xr_L3£; r ,3£ 
dy y 1 3 ^ z dF 1 df r dF 
Z = 0 , 
oppure, in virtù delle (4), (5) : 
3 F 
dx 
«' + 
dF 
dy 
dF , 3 £ , dF 
d* s ' dF 1 dy' 
È manifesto che quest’equazione deve essere soddisfatta qua- 
lunque sia X, e che perciò dovrà scindersi nelle due seguenti : 
dF dF y dF 
~dF W T f W * ° ’ 
dF dF , , dF dF 1 y X 
x + Si y + ~W z + SY le f 
dF x 3 ‘ ^ x , 
0. 
(*) Sur les intégrale s communes d plus tenni problémes de mécanique : Joum. de Mathémat-i- 
ques pures et appliquées, publié par J. Lionville, t. XVII, anno 1852. 
(**) Sugl’ integrali comuni a più problemi di Dinamica, Ann. R. Scuola Nomi. Slip, di 
Pisa, Voi. 4. 
