Sopra una classe di problemi di meccanica riducibili a quadrature. 
§ II. 
Pel problema del piano, in confronto del moto rettilineo, 
vale, come osservò il Bertrand, un teorema analogo. 
E infatti, se il momento della forza P, di componenti <p, 
rispetto all’ origine, è una funzione omogenea di grado nega- 
tivo — 2 delle coordinate vj, £, in guisa che si abbia: 
(9) v* - S? = - ^ 
'l ’l 
ove f è la derivata della funzione f dell’ unico argomento -- 
rispetto all’ argomento stesso, il problema del piano, denotando 
con c una costante arbitraria, ammetterà 1’ integrale primo : 
(10) « - ?V)* + 2/(-|-),= o, 
come può verificarsi. Ma si verifica altresì che 1’ integrale pri- 
mo (10), indipendente dal tempo, del sistema (1) si può trarre 
appunto dall’ integrale primo, indipendente dal tempo, dell’ equa- 
zione : 
• C. 
colla sostituzione di rfe — -q%, al posto di c , rispettiva- 
\ 
mente. E evidente che tale corrispondenza ha analogia con quella 
dimostrata nel § I, ciò che costituisce la proprietà a cui abbia- 
mo alluso in principio di questo paragrafo. 
Ciò premesso, supponiamo che le due funzioni <p, <f> soddis- 
facciano alla (9), ove f sia una funzione data dell’ argomento 
~ e f sia, come si è detto, la derivata di tal funzione rispetto 
