Memoria XI. 
Sulle successioni infinite di funzioni analitiche 
Nota di CARLO SETERINI 
Nella Note on thè functions defitteci by infinite series, voli ose terms are aria - 
lytic functions of a complex variatile etc. pubblicata dal sig. Osgood negli Annals 
of Mathematics , ser. 2 , voi. 3 (1901-02) p. 25, ed in altre memorie di diversi autori, (*) 
che a quella hanno fatto seguito, sono stabiliti importanti risultati intorno alle successioni 
infinite di funzioni analitiche. Tra questi presenta interesse in modo particolare il seguente, 
che una successione infinita di funzioni analitiche : 
(I) fi (*), U (*), • ■ ■ • , fri ( X ) 
regolari in un’ area finita, connessa T, se è limitata , (**) si compone di funzioni egual- 
mente continue in ogni area T' interna (***) a T, nella quale esistono allora una o più 
funzioni analitiche , regolari, a cui tendono in egual grado successioni estratte dalla (1). 
Tali funzioni si riducono ad una sola, a cui tende in egual grado nell’area T' la (1), 
se questa ammette un limite determinato e finito in un insieme infinito di punti, avente 
almeno un punto limite interno a T. Un’ altra condizione , che può essere a tale scopo 
considerata, e che conviene per il seguito ricordare, è la seguente, che ponendo : 
fri (x) = R ( fn (x)) + i ]( In (x) ) [n ~ 1,2, ... oo) 
una delle due successioni : 
(?) K(fi (X)), R(U (x)) , . . . . , R (fn (x)), 
(V Ufi < X ) ), ]{f % (xj) /(/„ (.\)), 
ammetta un limite determinato e finito in un insieme di punti uniformemente denso sul 
contorno (finito) di una qualche area interna a F, mentre per l’altra ciò si verifichi in un 
punto qualsivoglia di quest’ area. 
Scopo della presente Nota è d’ indicare delle nuove condizioni, perchè la successione 
(1) risulti in ogni area F’ interna a F limitata, condizioni in cui essenzialmente ed in pri- 
ma linea interviene la parte reale Rf„ (x) , ovvero il coefficiente della parte immaginaria 
(*) Vedansi per le citazioni le mie Note : Sulle serie di funzioni analitiche negli Atti del R. Ist. Yen. 
1904, 1905. Cfr. anche Montel: Sur les suites injìnies de fonctions ; Annales scientifiques de l’École Normale 
Supérieure, 1907. 
(**) Diciamo che una successione infinita di funzioni è, in un dato insieme di punti, limitata, se in ogni 
punto di tale insieme il modulo di ciascuna di quelle funzioni si mantiene sempre minore di una costante 
positiva, finita. Quando la successione si componga di funzioni reali, diremo che è limitata superiormente , se è 
limitata la successione dei limiti superiori, limitata inferiormente, se è limitata la successione dei limiti inferiori. 
(***) Intendiamo che esista una quantità positiva, non nulla ò, di cui sia sempre maggiore la distanza di 
due punti presi uno sul contorno di T e 1’ altro sul contorno di D. 
Atti Acc., Serie V, Vol. I. Mem . XI. 
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