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Carlo Severini 
[Memoria XI.] 
J (f n {x)), di ognuna delle funzioni (1), e che danno per conseguenza luogo a notevoli risultati 
sulle successioni infinite di funzioni armoniche. 
Successioni infinite di funzioni analitiche. 
1. Per la ricerca delle condizioni, alle quali testé abbiamo accennato, conviene richia- 
mare la relazione di Hadamard e Borei fra il modulo di una funzione analitica e la sua 
parte reale. 
Il teorema, al quale alludiamo, è il seguente : 
Se F (x) è per |x| r regolare, e soddisfa alla condizione: 
R ( F(x )) -< A 
con : 
A > o ; 
e se : 
o < p < r , 
risulta per ogni |x| p : 
! F (x) ì ^ I J (F(o); I + r r ± P p (2 A ! R (F (o) ) | ). 
Fra le dimostrazioni, che di questo teorema sono state date , la seguente di Schot- 
tky (*) ha sulle altre il vantaggio di una maggiore brevità , e meglio si presta ad essere 
qui riprodotta. 
Si ha per \x\ p : 
ove si è posto : 
F (x) 
*' 1 fFfo)) + — j 
{+ * 
l — x 
R (F ) dy . 
e quindi : 
| F O) 
J(F (o)) 
' 2TT 
R (F(0 ) | d<s, 
donde, osservando che : 
R (F (o)) 
r +p _ 
r — p 27 : 
27 : 
R (F (i) ) dw 
o 
(*) Cfr. Schottky : Ueber den Picardschen Sat\ und dìe Borelschen Ungleichnngen ; Sitzungsberichte der K<> 
niglich Preussischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1904, S, 1245 — 1247. 
