Sulle successioni infinite di funzioni analitiche 
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si deduce : 
F (x) |<^| /(F(o) ) \ — \ R {F ( o ))| ’~l jl R(F (f) \+R(Ff))\ d<f 
f*2TZ 
F (x) 1 < | J (F(o) ) | + I R ( F (o) )| r — p + 2 ^ t_ ; 
r i 
C.D.D. 
Osservazione. — Mediante questo teorema si può ritrovare il risultato, che una fun- 
zione armonica U ( u , v) , continua essa e le derivate in T , raggiunge il massimo ed il 
minimo soltanto in punti del contorno. Si associ infatti alla U fi, v ) una funzione armo- 
nica V fi, v), per modo che la funzione della variabile complessa x = u -f- i v : 
W (x) = U (u, v) -4- i V {u, v) 
sia analitica, regolare in F. 
Se ora la U ( u , v) potesse assumere ad esempio il massimo in un punto fi 0 , vo ) 
interno a 1', la 
W (x) — W (x 0 ) = W {x) , 
ove s’ intende posto Xo = u 0 -fi i v o , avrebbe la parte reale costantemente o, ed inol- 
tre sarebbe : 
Li {W (xj) “O, ] (W (x 0 ) ) 1= o. 
Nel cerchio di centro xo e raggio uguale alla minima distanza di Xo dal contorno di 
T, e pertanto in tutta 1’ area I\ dovrebbe essere : 
ir (x) = o. 
cioè: 
w (x) — w (x 0 ) , 
il che è assurdo, supponendosi naturalmente U fi, v) non costante. 
2. Ciò posto riprendiamo la successione (1) ed ammettiamo, che in un punto x 0 in- 
terno a T sia essa limitata, il che porta, come sopra è detto, l’ esistenza di una costante 
positiva, finita, M, per la quale si ha : 
(4) _ ! R (fr, (* 0 ) ) I ^ M > i J (fri fio) ) ! Ss M (n — I, 2, . . . . , 00 ) . 
Ammettiamo ancora, che sia in ogni punto di F : 
(5) R(f v (x))<*A (»= i. 2 , oo) 
con : 
A Cr o 
e, come dianzi, indichiamo con F' un’ area qualsivoglia interna a T, con 3 la minima di- 
stanza, che può intercedere fra un punto del contorno di T ed un punto del contorno di 
F' ; per ultimo con 3 (x) la minima distanza di un punto x di F dal contorno di F. 
Ponendo nel teorema del § precedente 
r — ò ( x 0 ) — s , 
p = ò (x 0 ) — 2S 
