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Carlo Severini 
[Memoria XI.] 
ove £ indica una quantità positiva, non nulla, minore di 1 j 2 & , si deduce senz’altro, per ogni 
\x\ < B (xo) — 2 £ : 
\fn(x)\<\j( f n (*„)) | + ( — “ — 3 ) (2/4 + j 2? (f n (x 0 ) ) | ) (« = I, 2 , . . . , 00 ), 
ed a causa delle (4): 
I fn (x) I <; M + ( 2 ° g X(l) — 3) (2^ - W) (n — 1,2, . . . , co ) , 
il che ci dice che la successione (1) è , nelle poste ipotesi , limitata per tutti i punti del 
cerchio (x 0 , § (x 0 ) — 2 £) di centro x D e raggio uguale a <3 (xo) — 2 e. 
Preso ora un punto x\ di I v interno a tale cerchio, ripetendo il ragionamento dianzi 
fatto, si dimostra che la medesima successione è limitata nel cerchio (.ri, 5 (xi) — 2 s) , 
e così continuando, poiché i cerchi, che via via si considerano , hanno tutti raggio non 
minore di h — 2 £, e perciò con un numero finito di essi si viene a ricoprire tutta 1’ area 
T', risulta in ultimo, che la (1) è in tale area limitata. 
A questa medesima conclusione si può evidentemente arrivare , se , invece della (5), 
si suppone verificata, per tutti i punti di T, 1’ altra condizione : 
con 
R (fn (x)) B (n — 1 , 2 , ... , oo ) 
B ^ o: 
ci si riconduce infatti al caso precedente, considerando la successione : 
— fn (x) (» = 1 , 2 , . . - , oc ) 
che è limitata o no secondo che tale è la (1). 
Per ultimo è ovvio che si può anche partire dall’ una o dall’ altra delle seguenti con- 
dizioni : 
J (fn (x)) < A (» = 1 , 2 , 
con : 
ovvero; 
con: 
A 
o; 
7 (fn (X) ) 2s B (n = 1 , 2 , . . . , 00 1 , 
b <: o, 
nel qual caso si considererebbe la successione: 
i f n (x) in — 1 , 2 , ... , oo ) 
che per il nostro scopo può ben essere sostituita alla (1). 
Dopo ciò siamo in grado di enunciare il seguente teorema: 
