Sulle successioni infinite di funzioni analitiche 
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La successione infinita di funzioni analitiche , regolari , nell' area F: 
(i) L (*), h (-m ■ ■ • > /« (x), ... . 
sia in un punto xo, interno a F, limitata , ed in tutti i punti dell’ area medesima , 
sia soddisfatta , per ogni n, una delle seguenti disuguaglianze : 
R {f„ (X) ) fL A , R (f n (X) ) fi , 7 (/« (x)) A , ] {fa (x) ) 2£ B {n — 1 , 2 , . . . , co ) 
ow A £ B sono due costanti , che si possono sempre supporre , la prima 22; o, /a 
seconda < o. 
So//o tali condizioni la successione (1) è limitata in ogni area F' interna a F. 
3. Il medesimo risultato si ottiene evidentemente, se la (1) può essere decomposta in 
un numero finito di successioni, soddisfacenti alle dette ipotesi ; così ad es. se, la (1) essen- 
do in un punto x 0 interno a F limitata, infinite delle (2) (ovvero delle (3) ) costituiscono 
una successione limitata superiormente, mentre le rimanenti costituiscono a lor volta una 
successione limitata inferiormente. Un caso assai notevole, in cui quest’ ultima condizione 
viene soddisfatta , si ha , ponendo che le (2) (ovvero le (3) ) non possano assumere un 
dato valore reale a, perchè allora ogni R (f n (x) ) , a causa della continuità , o non di- 
venta mai minore di a, 0 si mantiene sempre maggiore di a. Si può quindi dire : 
Se la successione : 
( I ) A (x) , f . 2 (X), ... , f n (x), ... . 
è in un punto xo interno a F limitata , e se la parte reale {ovvero il coefficiente 
della parte immaginaria ) di ognuna di tali funzioni non può assumere un dato 
valore reale a, la successione (1) è in ogni area F' , interna a F , limitata. 
4. La condizione che le (2) (ciò che diremo per le (2) s’ intenderà senz’ altro d’ ora 
innanzi che si può analogamente ripetere per le (3) ) non assumano mai nell’ area T il 
valore a può essere tolta e sostituita con altra più ampia. 
Indichiamo con G a Y insieme dei punti, interni a T , nei quali qualcuna delle (2) as- 
sume il valore a : basterà supporre che 1’ insieme G a sia riducibile, non contenga x 0 , e 
nemmeno abbia x 0 come punto limite. In tale ipotesi si potrà infatti, assegnato comunque 
il campo T', interno a T, costruire un campo T", interno, a T, e contenente internamente 
r', sul cui contorno 7 " non cada nessun punto di G a , e dell’ insieme derivato G’ u ; e si 
potrà inoltre congiungere il punto x 0 con uno 0 più punti di 7 " (secondo che 7 " è sem- 
plice 0 multiplo) mediante una o più linee X finite, continue, che godano della stessa pro- 
prietà di 7 ". Per ogni punto di tali linee e di 7 " , preso come centro, è allora possibile de- 
scrivere un cerchio contenuto in T, nel quale nessuna delle ( 2 ) assume mai il valore a. 
Il raggio massimo di questo cerchio è una funzione continua dei punti 7 " e delle linee X, 
e come tale ammette un minimo diverso da zero. Ne consegue che dette linee X e 7 " si 
possono racchiudere in un’ area finita, connessa, in cui le ( 2 ) non assumono mai il valore 
0 , alla quale area il punto Xo risulta interno. Entro quest’ area, e quindi su 7 ", sarà allora 
