6 
Carlo Sederini 
[Memoria XI.] 
limitata, per il teorema del § prec., la successione (1) ; che sia limitata nell'area V è do- 
po ciò una facile conseguenza della forinola : 
tu (x) — 
I 
2T.Ì 
fn (0 
dt 
T" 
n — 1,2 , . . . , oc) 
ove t varia lungo il contorno di r , ed x può rappresentare un punto qualsivoglia di r 
Possiamo dunque enunciare il seguente teorema : 
Se la successione di funzioni analitiche , regolari, in F: 
(0 fi (*), fi (X) ,fa(x), 
è in un punto xo interno a I' limitata , e se l’ insieme G,, dei punti interni a V in 
cui la parte reale (ovvero il coefficiente della parte immaginaria) di qualcuna di 
tali funzioni assume il valore reale a, è riducibile , non contiene xo e non ha xo come 
punto limite , la successione (1) è limitata in ogni area F interna a F. 
Osservazione: E ovvio che ove non si richieda di stabilire che la successione (1) 
è limitata in ogni area F' interna a T, ma soltanto che di questa proprietà gode per una 
determinata area r così fatta, può farsi a meno dell' ipotesi dianzi posta, relativa all' in- 
sieme G a , ammettendo che esista un campo T" ed un sistema di linee X. quali dianzi 
abbiamo indicato. 
5. Invece di considerare una quantità fìssa a, si può , sotto certe condizioni , consi- 
derare più generalmente una successione infinita di quantità reali : 
(6) «i , , , u n , 
Ammettiamo che si possano scegliere tali quantità in modo che la successione : 
(7) fa 0) — a n ( n — 1,2, . . . . , oc ) 
sia in un punto xo interno a T limitata, ed in modo che l’insieme dei punti interni a F, ove 
le (2) rispettivamente assumono i valori (6) sia riducibile, non contenga Xo e non abbia 
Xo come punto limite. 
La successione (7) è allora, per il teorema del § prec., limitata, quindi, composta di 
funzioni egualmente continue, in ogni area F' interna a T. In T' saranno egualmente conti- 
nue anche le (1), e se si vuole che la successione di queste risulti ivi limitata, basterà 
in più supporre che tale sia in un punto x' 0 . Se infatti 5 è una quantità positiva, tale che 
indicando con x ed x due punti di T', soggetti alla condizione : 
ne consegua : 
fn (x) — fn ( X ') j £ (* = 1.2 “) 
ove £ è una quantità positiva, prefissata ad arbitrio ; se A rappresenta la massima distanza 
di x\ dal contorno di T', ed m il massimo numero intero contenuto in -y, sarà, per ogni 
x di T': 
I fn (x) — f n ( x ' 0 ) | <1 (m + i) s {n -= 1,2 oo ) 
