Sulle successioni infinite di funzioni analitiche 
7 
donde : 
| in (X) I ^ \fn (*'o) | 4- fin 4- i) E (n = i,2, oc) 
che basta al nostro scopo. 
Ove in particolare le (6) fossero comprese fra limiti finiti, basterebbe supporre la suc- 
cessione (1) in x 0 limitata, e l'insieme dianzi considerato riducibile, non contenente x 0 e 
non avente Xo come punto limite. 
Il teorema che si raccoglie da quanto abbiamo ora detto è il seguente : 
Alle funzioni analitiche, regolari in F : 
fi ( x ) , fi 0) fn (x) 
si possano associare le quantità reali : 
(6) a, , fl 9 , a n , 
siffatte che la successione : 
\l) fn ( x ) — a n (tl — 1,2, , oo) 
riesca in un punto x 0 interno a F limitata, e l’ insieme dei punti interni a F, 
ove le parti reali delle (1) rispettivamente assumono i valori (6), sia riducibile, 
non contenga xo, e non abbia x 0 come punto limite. 
Sotto queste condizioni le funzioni (1) risultano egualmente continue in ogni 
area T' interna a F, e la successione di tali funzioni è ivi anche limitata, se tale 
si suppone in un punto. 
Alla medesima conclusione si giunge, se invece della (fi), si considera la : 
fn(x) — ia n (n = 1,2, . ... , co) 
ed in corrispondenza l’ insieme dei punti interni a F, ove i coefficienti delle parti 
immaginarie delle (1) rispettivamente assumono i valori (6). 
II. 
Successioni infinite di funzioni armoniche. 
6. Allo studio delle successioni infinite di funzioni analitiche si può ricondurre lo stu- 
dio delle successioni infinite di funzioni armoniche, per le quali le considerazioni dianzi 
svolte danno luogo a notevoli risultati. 
Assegnata una successione infinita di funzioni armoniche : 
(8) U l (il, v) , U 2 (u, v) U n (u, v) 
continue esse e le derivate in un’ area F, restano determinate, a meno di una costante 
addittiva, le funzioni armoniche : 
( 9 ) 
( u , v), V 2 (u, v) , .... , V n [,u, v), 
