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Carlo Severini 
[Memoria XI. [ 
tali che le funzioni della variabile complessa x—u-\-i v : 
(10) W n (x) = U n (w, v) + i V n («, v) (n — 1 , 2 . oc ) 
risultino analitiche, regolari in F. 
Applicando allora alle (10), ottenute con opportuna determinazione della suddetta co- 
stante addittiva, i risultati dianzi stabiliti, e tenendo presente quanto abbiamo in principio 
ricordato, noi otteniamo per le. (8) altrettanti teoremi, dei quali enunceremo per brevità i 
più importanti. 
In quanto la successione (8) può riuscire limitata abbiamo il seguente, che subito si 
deduce da quello, a cui siamo arrivati nel $ 5. 
Alle funzioni armoniche : 
(8) t/[ ( u , v) U., (u, v) , .... , U n ai. v) 
continue esse e le derivate nell' area T, si possano associare le quantità reali: 
(6) > <Ij i , U-n , 
siff atte che la successione : 
(11) Un (.11, V) — u n (n — 1,2 oc ) 
riesca in un punto (U 0 V 0 ) interno a T, limitata ; e l’ insieme dei punti interni 
a r, ove le (8) rispettivamente assumono i valori (6) sia riducibile , non contenga 
(U 0 Vo), e non abbia (U 0 Vo) come punto limite. 
Sotto queste condizioni le funzioni (8) risultano egualmente continue in ogni 
area T' interna a F, e la successione di tali funzioni è ivi anche limitata , se tale 
si suppone in un punto. 
Basta nella determinazione delle (9), disporre della costante addittiva, in modo che la 
successione di queste sia in (U 0 , V 0 ) limitata, per ricondurci senz' altro al caso conside- 
rato nel § 5. 
Se di tale costante si dispone in modo che per U=U 0 , V=V 0 la (9) ammetta in più 
un limite determinato e finito, si ottiene quest’ altro risultato. 
Nelle ipotesi del teorema precedente , ove inoltre la successione (8) ammetta un 
limite determinato e finito nei punti di un insieme uniformemente denso sul con- 
torno ( finito ) di una qualche area F" contenuta in V e contenente (Uo, V 0 ), la suc- 
cessione medesima converge in egual grado ad una funzione armonica in ogni 
area F', interna a F. 
7. La condizione contenuta nel precedente teorema, che la successione (11) sia in un 
punto (U 0 , V 0 J di T" limitata è in particolare soddisfatta, se è limitata la successione (6), come 
punto (t/o, Vo) potendosi in tal caso assumere uno qualunque dei punti del contorno di r", 
ove la (8) tende a limiti determinati e finiti ; se inoltre si ammette che un limite determi- 
nato e finito esista per la (8) in ogni punto di tale contorno, si può anche essere certi 
dell’ esistenza di un tale punto (U 0 , Vo ), che non appartenga all’ insieme riducibile sopra 
considerato e nemmeno all’ insieme derivato. 
Si deduce da ciò il seguente teorema : 
