Sulle curve ellittiche del quinto ordine 
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B y B, , Cy C, , Dy D, , Ey E 2 , Fy F 2 secano ancora la cubica in sei punti situati 
in una stessa conica. 
Supponendo che i punti indicati con lettere munite d’ indice 2, siano infinitamente 
vicini ai punti indicati con lettere rispettivamente omonime e munite d’ indice 1, si ha : 
I sei punti tangenziali dei punti comuni alla cubica e ad una conica, appar- 
tengono pure ad una conica *). 
Se poi si suppongono queste due coniche infinitamente vicine, si ritrova la nota pro- 
posizione che dice come ogni conica contenente cinque tiessi di una cubica, passa per un 
altro flesso della medesima. 
Similmente è facile dimostrare il teorema : 
Data una quintica gobba ellittica , si conducano tre piani a secarla nei punti 
A-„ Ci, Dy, Ey (i=\, 2, 3). I piani Ay A 2 A 3 , By B, B 3 , C L C\ C 3 , Dy D. 2 D 3 , Ey E 2 E % , 
secano ulteriormente la curva in dieci punti appartenenti ad una stessa quadrica. 
In particolare': 
I piani osculatori di una quintica gobba ellittica, in cinque punti di un piano, 
secano ulteriormente questa curva in dieci punti di una stessa quadrica. 
Osserviamo, infine, che in virtù di quanto si disse in principio del n. 1, si ha, p. es., 
che se Ay, By , Cy , Dy, e A 2 , B 2 , C 2 , D 2 , sono i punti comuni ad una quartica piana 
senza punti multipli, e a due rette del suo piano, allora le rette Ay A 2 , B L B 2 , Cy C 2 , Dy D 2 , 
incontrano ulteriormente la curva in otto punti tali che se sei di essi appartengono ad una 
stessa conica, questa conterrà pure i due punti rimanenti. 
4. Sia C una curva ellittica d’ordine 2 k -j- 5 dello spazio [2 k d>\. 
E noto * 2 ) che esistono due [/e] {k -f- 2)-secanti una curva ellittica d’ordine 2 /e — |— 4 
appartenente allo spazio \2k-\-2\. Ne segue che per ogni punto M di C passano due 
spazi [k -}- 1] (k -f- 3)-secanti questa medesima curva. Questi due spazi individuano dunque 
un iperpiano in cui sono immersi, iperpiano che chiameremo \i. 
Al variare di M sulla curva, 4 iperpiano p. genera una certa sviluppabile A- Assu- 
mendo come omologhi un punto M di C e il relativo iperpiano p, si ottiene una corrispon- 
denza biunivoca co fra i punti di C e gl’ iperpiani di A : dunque A è pure di genere 
p H 
La classe di A» poi, è 2k -j- 5 , giacché per il punto M, per es. , passano (solamente) 
|i- e i 2k + 4 iperpiani corripondenti alle 2 k -|- 4 ulteriori intersezioni di C con \>.. 
Osserviamo inoltre che cu trasforma i 2k A 5 punti comuni a Ce all’iperpiano p, in 
2k 5 iperpiani di A passanti tutti per il punto M omologo di p. E siccome fra la sem- 
plice infinità d’ iperpiani di A se ne possono evidentemente scegliere 2k -)- 4 linearmente 
indipendenti, così deduciamo che la corrispondenza co è subordinata ad una correlazione Q. 
Questa, anzi, è una polarità , giacche all’ iperpiano p , considerato come appartenente alla 
figura della curva C, corrisponde il punto M medesimo. Infine, la polarità il è una polarità 
nulla, perchè nell’ ipotesi opposta, la curva C apparterrebbe ad una iperquadrica, tale che 
*) Nel caso particolare che la prima conica sia la polare di un punto del piano rispetto alla cubica , 
questo è un noto teorema di Cremona. 
2 ) Tanturri, Ricerche sugli spap plurisecanti di una curva algebrica [Annali di Matematica pura ed appli- 
cata, serie III, tomo IV (1900)], 1 n. 7 ; e per k — 1 vedi pure Berzolari, Sulle secanti multiple di una curva 
algebrica dello spazio a tre od a quattro dimensioni [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo IX 
(I895) pp. 186-197], 
