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G. Marletta 
[Memoria XIV.] 
l’ iperpiano tangente a questa in un punto M di' C, sarebbe l’ iperpiano p. dei due spazi 
[k -[-1] {k -)- 3) - secanti passanti per M. Ma questo iperpiano tangente dovrebbe contenere 
la tangente in M alla curva, e quindi secherebbe questa in 2 -f- 2 {k -j- 2) = 2k -j- 6 punti, 
e ciò è assurdo. 
Concludendo : 
Data una curva ellittica di ordine 2k -)- 5 dello spazio \2k -(- 3J , esiste una 
polarità nulla che trasforma ogni punto della curva nell’ iperpiano dei due spazi 
\k -\- 1] {k -\- 3) - secanti passanti per esso £ ). 
Applicando le considerazioni fatte ad una quintica gobba razionale dotata di un (sol) 
punto doppio, si trova che esiste una polarità nulla, la quale trasforma ogni punto della 
curva nel piano delle due trisecanti passanti per esso, ma non per il punto doppio. Le tri- 
secanti siffatte appartengono dunque ad un complesso lineare. 
5. — Sia C una curva ellittica d’ ordine 2 li -f- 4 dello spazio \2k -j- 3J. Per un punto 
generico P di questo passano due \k -j- 1] {k -f- 2) - secanti C. 
Se ^^2 è una serie lineare della curva, i [ k -}- 1] individuati dai suoi singoli gruppi, son 
tali che, in generale, due qualunque di essi non appartengono ad uno stesso iperpiano. Per 
trovare il numero delle g,f^ 2 > ciascuna tale che due suoi gruppi (necessariamente arbitrari) 
appartengano ad uno stesso iperpiano, si osservi che se G è un gruppo di una delle gfP 2 
cercate, le le -)- 2 rette tangenti a C nei k 2 punti di G, appartengono ad uno stesso 
iperpiano. Ma k -|- 1 di queste tangenti individuano un \2k -J- 1] base di un fascio d’iper- 
piani secanti su C una gl ; dunque la rimanente delle & -j- 2 tangenti ora dette, avrà per 
punto di contatto uno dei quattro punti doppi di questa gl. 
Concludendo : 
Esistono sulla curva C quattro gj)^ ? P er ciascuna delle quali la serie dop- 
pia è la ggj^ secata dagl’ iperpiani di [2k -j- 3]. 
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Sia 2 una delle quattro serie ora dette, e G un suo gruppo qualunque ; indichia- 
mo con [G] lo spazio a le -f- 1 dimensioni individuato dai le -(- 2 punti di G. 
Siccome le tangenti alla curva C nei punti di G appartengono ad uno stesso iperpia- 
no, così \G\ , contato due volte, rappresenta i due \k -(- 1] {k-{-2 ) — secanti uscenti da un 
suo punto generico. Ne segue che se M è un punto comune a \G\ e allo spazio \k 1] 
di un altro gruppo di g '^+2 , per M passeranno oo 1 di tali spazi [le -j- 1]. 
Dunque in ogni spazio come [G ], abbiamo una varietà y a le dimensioni , e il luogo 
di queste varietà f sarà un’ altra varietà T a 2k dimensioni. 
6. — Abbiamo visto nel n° precedente, che per un punto qualunque di T , passano 
infiniti spazi ( k -j- 1] {k -j- 2)-secanti la curva C. 
Viceversa sia M un punto siffatto, non posto però sulla varietà F 2 k+i costituita dagli 
D Per k — o si ritrova la nota proprietà che le trisecanti di una quintica gobba ellittica appartengono 
ad un complesso lineare ; vedi Montesano, Su la curva gobba di f ordine e di genere i. [Rendiconto del- 
1 ’ Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli, serie II, voi. II ( 1 888), pp. 181-188]. Ma questo 
teorema della quintica gobba ellittica è addirittura evidente, se si pensa che la rigata delle trisecanti è di ge- 
nere p—i, e che non esistono quintiche ellittiche immerse nello spazio [5]. Dal fatto, poi, che questa ri- 
gata non ha generatrice doppia, segue che essa non appartiene ad una congruenza lineare. 
