Sulle curve ellittiche del quinto ordine 
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spazi [7c] (le -j- l)-secanti C. Dico che M appartiene ad una delle quattro varietà F indivi- 
duate dalle quattro ciascuna delle quali ha come doppia la serie secata su C dagl’i- 
perpiani di [2lc -J- 3]. Infatti, siano G, G' e G" tre gruppi di le -fi 2 punti, tali che gli spazi 
[ft-j-1] da essi individuati passino tutti e tre per il punto M. Gl’ iperpiani per G , secano 
su C una g^ì_l alla quale appartengono G' e G” ; ma i \le - j- 1J di G' e G" sono immersi 
in uno stesso iperpiano, giacche hanno M in comune, dunque G' -)- G" è un gruppo della 
gljfifi 4 secata su C dagl’iperpiani di [2/c— }— 3] . Ne segue che questa ifjrjj, e una delle quat- 
tro serie che soddisfano alla proprietà più volte citata. Dunque il punto M appartiene ad 
una delle quattro varietà T. 
Concludendo : 
Il luogo dei punti dello spazio [2k -fi 3] per ciascuno dei quali passano infi- 
niti [k-j-1] ciascuno avente in comune con una curva ellittica d' ordine 2k -f- 4 , 
k — j— 2 punti, dei quali almeno due non fissi, si spezza in quattro varietà algebri- 
che da 2k dimensioni. 
7. — Consideriamo una delle anzidette varietà F, e indichiamo con 3 i [k-j-1] in- 
dividuati dai gruppi della g^t_l inerente a T. Ogni [rj (r -j- 1)- secante C, con r k , 
appartiene ad oc k_r spazi a, giacché i suoi r -fi 1 punti della curva, con altri k — r punti 
generici di questa medesima, individuano un gruppo della g\^ . Se è r — k dunque, per 
[r] passa un numero finito di spazi a, e precisamente passa l ’ unico a contenente l’unico 
gruppo di gfi^ 2 individuato dagli r -fi 1 (=.k-fiì) punti di G appartenenti all’ [r] in di- 
scorso. 
Vogliamo ora dimostrare che per un punto generico P di un [k\ {k-fi l)-secante, cioè per 
un punto P di questo spazio fuori dai k-fi 1 [k — 1| che i k -fi ì punti di 6', posti in [k], 
individuano presi a k a k, passa un numero finito di spazi a, e precisamente vi passa il 
solo a contenente il gruppo di gk+2 individuato dai detti le -fi 1 punti. 
Infatti se per P ne passassero infiniti, e fosse o uno generico di questi, I e [k] ap- 
parterrebbero ad un [2/e -j- 1] (2k -}- 3) — secante, se a' e \k ] hanno in comune il solo punto 
P, e allora la curva C sarebbe razionale, ciò che non è. 
Se, in generale, o' e \k] avessero in comune lo spazio [r\, con r fi k — 1, indivi- 
duato da P e da r dei k -fi ì punti comuni a G e a [k\, allora essi apparterrebbero ad un 
[: 2k — r -fi 1] (2/e — - r -|- 3)-secante, ed anche in questo caso la curva C sarebbe razionale. 
Ne segue che a' e [k\ devono avere in comune P e k punti di G. Ma allora essendo que- 
sti, per 1’ ipotesi fatta su P, k -fi l punti linearmente indipendenti, lo spazio a' conterrà lo 
spazio [/e], e quindi a' non è altro che 1’ unico spazio a individuato dai k-fi 1 punti di V 
in \k\. Se ne deduce che ogni spazio 3 passante per P deve coincidere con questo ora 
detto, cioè per P non passano infiniti spazi a ; dunque P non appartiene a F. 
8. Consideriamo ancora uno spazio \k\ (£-j-l) — secante C. Abbiamo visto che ogni 
punto P di esso non poste- in alcuno dei k fi- ì [k — 1] £- secanti di [k], è un punto che 
non appartiene alla varietà F. Ne segue che la traccia di T in uno spazio a, è una va- 
rietà y a k dimensioni, la quale è secata da un [ k\ (k -j- l)-secante di a, nei k -fi ì [k — 1] 
individuati dai k-fi 1 punti di C posti in [k], presi a k a k ; cioè "( è d’ordine k-fi 1. 
Osserviamo, inoltre, che' per y ciascun punto A di C è di multioficitàL ^fi | J e 
