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G. M arietta 
[Memoria XIV.] 
siccome A appartiene ad co k spazi a, ed è quindi k — pio per ao k varietà come 7 , così 
deduciamo che il punto A è k — pio per T. Similmente, una corda AB della curva <J, ha 
per 7 una multiplicità eguale a k — 1, e quindi è anche (k — 1) — pia per T. E 
in generale, uno spazio [r] (r fi- \) — secante, con r < k, ha per la varietà T una multiplicità 
eguale a ^ | = k— r. Infine uno spazio [ k } (£^-l) — secante, non appartiene (n. 7) a T. 
9. Per trovare 1’ ordine della varietà T, si consideri uno spazio Saè-f-2 dimensioni, 
secante C in k -f- 3 punti generici Ai , Az , , Au+ 3 , tali cioè che k -f- 2 qualunque di 
essi non formino un gruppo della g ^ inerente V. Dico che E seca T solamente lungo i 
( /l ^ 3 ) — 1 1 k — secanti C, in esso contenuti; ne seguirà che la varietà T è d’ ordine (^T 3 )- 
Infatti sia, se è possibile, P un punto di T posto in X, e fuori dai [ k — 1] ora detti. Per 
P passano infiniti spazi a, uno (almeno) 2 dei quali passerà anche per il punto Ai. Allora, 
se a' e E hanno in comune la sola retta PAi, appartengono ad un iperpiano , e quindi 
A 2 ...., A/c-i -3 formano un gruppo (n° 5) della g inerente a F ; e ciò è assurdo perchè 
contro 1’ ipotesi fatta sulla genericità dei k -[-3 punti Ai...., Ak+ 3 . 
Se o e 2 hanno in comune un [2], questo o non contiene alcun altro punto di C, 
oltre di Ai, ovvero contiene Az, p. es. Nella prima ipotesi a' e E apparterrebbero ad un 
\2kfiì] (2/<;-|-4)-secante, e ciò è assurdo. Nella seconda ipotesi, individuerebbero un \2kfiY] 
(2£-j-3)-secante, e ciò è anche assurdo, perchè C non è razionale. Affinchè a' e — ab- 
biano un [ 2 ] comune, questo deve quindi contenere anche un altro, p. es. A 3 , dei punti 
di C. Ma allora siccome P è fuori dai [ k — 1] ^-secanti posti in E, gli spazi 0 ' e E han- 
no in comune il [3] = PAiAzAi. 
Posto che ciò sia, a' e E se non hanno alcun altro punto comune, giacciono in un 
\2k\ ( 2 £-|- 2 )-secante, e ciò è assurdo per la solita ragione, cioè che la curva C non è ra- 
zionale, a meno che il [3 1 ora detto non contenga un altro, p. es. Ai, dei punti di C in 
I. Ma in tal caso a' e E avrebbero in comune il [4] = PA 1 A 2 A 3 Ai, e quindi apparterreb- 
bero ad un [2/e— 1J (2/e-j-l)-secante, e ciò è assurdo, perchè C non è razionale, a meno che 
il [4] ora detto non contenga il punto As, p. es. Ecc. Così seguitando si viene a concludere 
che se P è in T, esso deve appartenere ad un \k ] (é-f-l)-secante, e quindi (n° 7) esso dovrà 
giacere in qualche [/e — 1] /^-secante posto nello spazio E. Ma anche ciò è assurdo per 
l’ ipotesi fatta su P\ quindi il punto P non appartiene a T. 
Per quanto si è detto in questo e nei quattro n‘ precedenti, possiamo concludere il 
seguente teorema : 
Data una curva ellittica C d’ ordine 2k-|-4 dello spazio [2k-j-3], esistono quat- 
tro varietà F a 2k dimensioni passanti per essa, le quali formano il luogo dei 
punti dello spazio [2k— [— 3 1 per i quali passano infiniti [k— j— 1 J ciascuno secante C 
in k— [— 2 punti dei quali almeno due non fissi. Inoltre, ciascuna di queste varietà 
r è d’ordine ( k ^ 3 ), ha come (k — r )-plo, r<Jk, ogni [r] (r-f-1 )-secante C, e contiene oo^ 1 
varietà a k dimensioni , d’ordine k— f— 1 , e secanti questa medesima curva in k— )— 2 punti. 
Per k — \ si deduce che per una sestica ellittica normale, passano L ) quattro superfi- 
cie di Veronese. 
ì) Questo caso particolare era noto; vedi Rosati, (1902). Sulle curve ellittiche del sest’ ordine [Rendiconti del 
R. Istituto Lombardo, serie II, voi. XXXV (1902) pp. 407-411] n° 1. La dimostrazione del Rosati è poggiata 
