Sulle curve ellittiche del quinto ordine 
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10. Vogliamo ora vedere quali delle (2&-|-4) 2 involuzioni di l a specie *), trasformanti 
la curva C in sè stessa, mutano pure in se stessa ciascuna deile g k ^_ 2 inerenti alle quattro 
varietà T del teorema precedente. 
Sia Q una di queste involuzioni: essa trasformerà ogni punto (£-j-2)-plo della ^^ 2 , in 
un altro punto siffatto di questa. E viceversa, se Q trasforma fra loro due tali punti, muterà 
in sè stessa anche la g k +l *)• Ne segue senz’altro che le involuzioni cercate sono (£-j-2) 2 . 
È noto, inoltre, che ogni involuzione fra i punti della curva C , dà come luogo delle 
rette congiungenti i punti coniugati, una rigata razionale d’ ordine 2k-\-2. Se, ora, Q tras- 
forma gl+l in sè stessa, la detta rigata, ad Q. inerente, ha co'V- * 1 gruppi di kf-2 genera- 
trici poste in uno stesso iperpiano, e quindi sarà dotata di una direttrice minima d’ ordine 
(2^— 1—2) — (&-j-2) = k. E viceversa. 
Chiamando, col Segre, singolari 3 ) queste ( £-j-2) 2 collineazioni involutorie trasformanti 
C in sè stessa, possiamo concludere che 
Delle (2k-f-4) 2 involuzioni di l' 1 specie che trasformano la curva C in sè stessa, 
solamente le (k-j-2) 2 singolari mutano in sè stessa ciascuna delle quattro varietà E. 
11. Indichiamo con E,* (i = ì, 2, 3, 4) l’ipersuperfìcie generata dagli spazi a ine- 
renti alla varietà T*. 
Se f è uno generico dei punti comuni a Ei* e T 2 *, per P passano intanto quattro spa- 
zi 0 , due infinitamente vicini inerenti alla varietà E u e due infinitamente vicini inerenti a 
To, e quindi per P passano infiniti spazi [/i-j-l] (/f-f-2)-secanti. Vogliamo dimostrare che 
il punto P appartiene alla varietà Fàk+i formata da tutti gli spazi [k\ (£-j-l)-secanti C. 
sulla nota rappresentazione piana della superficie di Veronesi;, ed è valida, perchè si osservi che due curve 
ellittiche normali dello stesso ordine e dello stesso modu'o, sono collineari. Sfruttando opportunamente questa 
osservazione, si deducono molte proprietà delle curve ellittiche. Abbiamo, ad es., che « per una curva ellittica 
normale d’ordine 2tn, passano quattro varietà ad m — r dimensioni, ciascuna contenente 00 2,n -' 4 coniche», che 
per m— 3 non differisce dal teorema del Rosati. In virtù del primo teorema del n° 3, abbiamo poi, che se cp 
è una superficie di Veronese passante per una sestica ellittica , allora conducendo due iperpiani arbitrari a 
secare questa curva nei punti A ly B lt C 1; D h E L , F l , e A 2 , B. 2 , C 2 , D. 2 , E 2 , F 2 rispettivamente, le coniche di 
© individuate dalle coppie A l A ì , B fo, C t C 2 , D { D 2 , Ef. 2 , Ffo, incontreranno ulteriormente la curva in sei 
punti di uno stesso iperpiano. 
1 ) Segre, Remarques sur les transformations uniformes iies courbes elliptiques en elles-mèmes [Mathematische 
Annalen, Band XXVII (i886j, pp. 296-314] n. 1 ; Casteenuovo, Geometria sulle curve ellittiche [Atti della 
R. Accademia delle Scienze di Torino, voi. XXIV (1888). 
2 ) Si noti che condizione necessaria e sufficiente affinchè una corrispondenza biunivoca co fra i punti 
di C, sia subordinata ad una colliueazione trasformante C in sé stessa, è che co muti un punto (k — (— 2)- pio 
di una delle quattro g in un punto siffatto di una delle 'medesime g . 
:ì ) L’esistenza di queste ( (— 2)‘ 2 collineazioni singolari, era stata dimostrata, per via diversa, dal Segre 1 . c. n. 9, 
Ciascuna delle g 2 subordinate ad esse, soddisfa alla relazione caratteristica: (li -f- 2) g% = g 2^4 , essendo 
g la serie secata su C dagl’iperpiani di [2^ -t— 3 ] . Se sono incidenti i due spazi [k— {— 1 ] iperosculatori di C 
nei punti A e B, posto g\ = , si ha : (/e-j-2) g% E= gfk+4 ’ e v i ceversa Dunque la condizione necessaria e 
sufficiente affinchè i detti due [k + 1] siano incidenti, è che A e B sian coniugati in una delle (/;-f-2) 3 in- 
voluzioni singolari. Ne segue che il luogo dei punti ciascuno comune a due [&+i] iperosculatori di C, 
si compone di ( k -(- 2)' 2 curve razionali, ciascuna appartenente ad un [li -f- 2]. 
Per k — o si ritrova che la curva nodale della sviluppabile osculatrice di una quartica gobba di i a specie, 
è formata da quattro quartiche piane razionali. 
