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G. Mar letta 
[Memoria XIV.] 
Infatti, se così non fosse, allora siccome in P s’ incontrano due spazi a, uno inerente 
a Fi e uno a Ta, questi o non hanno alcun punto di C comune, e allora appartenendo ad 
uno stesso iperpiano sono inerenti entrambi a Ti (e a Ta) , mentre ciò è assurdo 1 ). Ov- 
vero i due spazi a hanno in comune qualche punto di G, e anche questa ipotesi è impossi- 
bile, giacché allora C sarebbe una curva razionale. 
Siccome poi la varietà Fkk+i appartiene evidentemente a ciascuna ipersuperficie Ti* e 
P 2 *, così possiamo concludere che queste hanno per totale intersezione la detta varietà 
Fàk+i, e, di conseguenza, che 
le quattro ipersuperficie Ti* Ta* Tg* T-i* appartengono ad uno stesso fascio avente 
Vak+i per varietà base. 
Ora, gl’iperpiani tangenti alle ipersuperficie del fascio, in uno stesso punto P di Fak+i, 
appartengono alla loro volta al fascio avente per base lo spazio [2&-j-l] tangente a Fàk+i 
in P. Ma l’iperpiano tangente a T,* in P, tocca questa ipersuperfìcie evidentemente in tutti 
i punti dello spazio a passante per P, quindi esso contiene le tangenti a C nei k-\-2 punti 
di questa curva medesima posti in a. Ne segue che i quattro iperpiani tangenti in P a 
Ffi r 3 * T 4 *, passano tutti per lo spazio [2/c— f— 1 ] individuato dalle tangenti di G nei kf-\ 
punti dello spazio generatore [/e] di Fhk+i passante per il punto P, e toccano ancora in 
un altro punto la curva G medesima. 
Dunque : 
Le quattro ipersuperficie Ti* T- 2 * Ts* IV considerate nel fascio a cui appar- 
tengono, hanno per rapporto anarmonico il modulo della curva C 2 ). 
È noto 3 ) , poi, che la varietà V^fc + i è d’ordine ( k -|- 2) 2 , onde ciascuna delle 4 
ipersuperficie Ti* r 2 * T 3 * Fi* è d' ordine k -j- 2 4 ). 
12. — Sia C una quintica ellittica dello spazio [4]. Indichiamo con P ( (i = 1,2,...., 
25) i punti stazionari di C, e con pi e it, rispettivamente la retta e il piano di punti uniti 
rispetto alla collineazione involutoria un cui punto unito sia P . 
È noto 5 ) che lo spazio 6 ) individuato da due qualsivogliano delle rette pi, contiene 
altre tre di queste rette, e, dualmente, il punto comune a due piani % t , appartiene ad altri 
tre piani siffatti. È chiaro, inoltre, che una retta pi ed un piano it, : (anche per valori diversi 
dell’ indice t) non sono incidenti. 
P P 
Sia ora g\ = P x fi fi , e le rette pi, p 2 , p 2 , pi, p 5 appartengano ad uno stesso spazio 
£. Indichiamo con t una retta, certamente esistente, incidente le quattro rette p u Xiq, p 2 , 
2%. La retta t è dunque unita per l’omografia involutoria S 1? e quindi le rette p ì =Q, i p ì 
p p 
e 2it 3 = si appoggeranno aneli' esse alla retta t. Similmente, posto g\ = P, p l fi 
in virtù di si deduce che pure le rette p x , 2x 4 , p h , S-ir 5 incontrano la t. 
Vogliamo ora dimostrare che rette incidenti pi, p- 2 , p 3 , p t , p h , e % 2 , it 3 , ~ 4 , x 5 . 
4 ) Infatti una g sopra una curva ellittica è individuata da un suo gruppo qualunque. 
2 ) Per k = i si ritrova un teorema del Rosati, 1 . c. n. 2. 
3 ) Tanturri, 1 . c. cap. II, N. 2. 
4 ) La varietà T, , della quale è caso particolare la superficie di Veronese, merita di essere studiata, e 
ciò forse faremo in altro lavoro. 
5 ) Segre, 1 . c. n. 12. 
6 ) D’ora in poi chiameremo spazio ogni [3]. 
