Sulle curve ellittiche del quinto ordine 
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non ve ne sono che due. Se, infatti, esistessero infinite di tali rette, proiettando C dal 
punto iq x 2 in uno spazio, si otterrebbe una quintica ellittica c trasformata in sè stessa da 
cinque involuzioni assiali. Le cinque rette proiezioni di p x , p 2 , p 3 , p^, p$, e le cinque 
tracce dei piani iq, x 2 , tc 3 , r 4 , x 5 , apparterrebbero ad una stessa quadrica, la quale secando 
c in 3.5 -j- 1.5 = 20 punti, conterrebbe c. Ma allora questa avrebbe un punto doppio, cioè 
esisterebbe una corda AB di C uscente dal centro di proiezione iq x 2 . Ora ciò è assurdo, 
giacché A e B sarebbero coniugati in ciascuna delle cinque gl subordinate alle collineazioni 
involutorie Qi, 2 2 , 2 $, 2 4 , 2 5 . 
Se dunque si dicono associati p l e iq per lo stesso valore dell’ indice i, possiamo 
concludere : 
In ogni spazio contenente cinque rette p , esistono due (sole) rette incidenti al 
medesimo tempo queste rette p : e i piani x, ad esse associati. 
La proiezione di C da una di queste due rette , è una curva piana degna di studio , 
ma per amor di brevità non insistiamo su ciò , del resto sarebbe cosa facile. 
13. — Consideriamo uno A dei tre punti di C posti nel piano iq, e sia oc il piano 
osculatore in esso. Indichiamo con cp, la rigata cubica luogo delle congiungenti i punti di C 
coniugati nell’omografia involutoria 2 , = (/>,, iti). 
Siccome A è unito per 2,, tale sarà pure a, onde a seca secondo una retta iq , e in 
un punto pi . Se la retta a iq non fosse tangente (in A) alla conica iti cpj , ma la secasse 
in un altro punto distinto M, lo spazio a p t conterrebbe 3 -j- 1 = 4 punti di G , oltre i 2 
posti sulla generatrice di cp, passante per M. Di conseguenza uno di questi due punti do- 
vrebbe essere lo stesso punto Gp t = P L , cioè per M dovrebbe passare la tangente a C in 
P L . Ma allora gli spazi passanti per a secherebbero su C una gl avente come doppio il 
punto P t , cioè secherebbero la medesima gl subordinata ad 2j , e il piano a, quindi, do- 
vrebbe contenere una conica (direttrice) della rigata cpj . Ciò è assurdo, giacché oc contiene 
la tangente a C in A, tangente che è una generatrice di tp x ) . 
Dunque : 
I piani osculatori della curva C nei tre punti posti nel piano iq (i = 1,2, , 
25) , secano questo piano lungo le tangenti in detti punti alla conica cp, ir,- . 
In particolare osserviamo che i detti tre piani osculatori non passano per uno stesso 
punto. 
Proiettando nello spazio ordinario, si ha : 
Data una quintica gohhct ellittica omologico-armonica, ciascuno dei piani oscu- 
latori della curva, nei tre punti semplici che questa ha nel piano d’ omologia, tocca 
il cono biproiettante la curva lungo la tangente di questa in esso contenuta. 
14. — Sia c una quintica gobba ellittica generale, cioè non dotata di punto doppio, e 
quindi non posta sopra una quadrica. Per c passa una (almeno) superficie cubica 7 , avente 
come doppi due dati punti qualunque A e B di essa. A 7 appartengono le trisecanti di c 
uscenti da A e B, e la stessa retta AB; ne segue che 7 è unica, cioè non esiste alcuna 
altra superfìcie cubica passante per c e avente A e B come doppi. 
II cono quadrico delle tangenti in A a 7 , contiene la tangente alla curva c in questo 
l ) Altrimente: giacché a contiene la tangente in A, tangente che è una generatrice di cp' , esso secherà 
ulteriormente cp j in un punto che è infinitamente vicino ad A, visto che a è un piano osculatore. 
Atti Acc., Serie V, Vol. I. Mem. XIV. 2 
