tini movimento piano di un punto materiale libero nello spazio 
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bile libero nello spazio, sotto V azione di una forza , descriva una 
traiettoria situata in un piano passante per un punto dato , è che 
la forza sia normale al momento geometrico della velocità rispetto 
al punto dato , o ciò che è lo stesso, il momento geometrico della 
forza rispetto al punto dato sia normale alla velocità. 
Se le forze debbono, per ipotesi dipendere unicamente dalle 
coordinate x, g, z e possono dipendere, anche esplicitamente, 
dal tempo, ma non debbono dipendere dalle componenti x , y/, z 
della velocità, la (6) non può essere soddisfatta che quando sia: 
x _ r _ z 
x y z 
In questo caso particolare il momento geometrico della 
quantità di moto non solo è normale alla traiettoria, ma, come 
si sa, è inoltre costante in grandezza ed il problema del moto 
ammette i tre integrali notissimi delle aree, cioè sono costanti 
il denominatore comune e i due numeratori dei rapporti che 
costituiscono i secondi membri dei due integrali (4). Dunque : 
La condizione necessaria e sufficiente affinché un mobile , libero nello 
spazio , nell ’ ipotesi che le tre componenti della forza debbano di- 
pendere dalle sole coordinate e possano dipendere dal tempo, anche 
esplicitamente, ma non dalle componenti x', y, vi della velocità , resti 
in un piano passante per un punto dato , è che la linea di azione 
della forza passi costantemente per questo punto. 
II. Più generalmente la traiettoria si trovi in un piano 
qualunque, cioè si tolga la restrizione che il piano passi per 
un punto dato e la equazione del piano sia : 
( 1 ) 
epe -|- cpy -(- c.p — . 1. 
cf -f- cgj -(- cf = 0 , 
c t A -j- c 9 l -j- e.f/j — 0 , 
Ci X + cX + c 3 Z' = 0 , 
( 2 ) 
( 3 ) 
( 4 ) 
Si dovrà avere : 
