Memoria VII. 
Sulla convergenza uniforme delle successioni di funzioni analitiche 
Nota di CARLO SEVER1NI « 
I Sigg. Carathéodory e Landau hanno in collaborazione (**) pubblicato nuove ri- 
cerche intorno alia convergenza delle successioni di funzioni analitiche , completando e 
generalizzando ricerche precedenti, di cui, tra altri, anch’ io mi ero occupato. 
La lettura dell’interessante Nota mi ha suggerito alcune considerazioni, che breve- 
mente mi propongo di esporre. 
1. Conviene che riportiamo i nuovi risultali ottenuti dai Sigg. Carathéodory e Landau. 
Anzitutto abbiamo il seguente : 
Teorema I : (***) Le funzioni analitiche 
( l ) fu (x) ( m = 1 , 2 , ..., 00 ) 
siano per | x | 1 regolari ; non assumano mai due valori complessi distinti 
a e b ed in infiniti punti , aventi almeno un punto limite interno al cerchio 
(0, 1) (****), tendano, al crescere di n, ad un limite determinato e finito. Esiste allora 
per ogni j x | < 1 il 
lim f n (x) = /(x), 
ed f (x) è per | x | < 1 una funzione analitica , regolare. Di più le (1) tendono uni- 
formemente ad f (x) nei punti di (o, 6 ) , ove 6 è una quantità fissa qualsivoglia , 
che soddisfa alla condizione o 0 f 1 (*****). 
(*) Comunicata all’Accademia nell’ adunanza del 9 Marzo 1912. 
(**) Beiirage zur Konvergenz von Funktionenfolgen ; Sitzungsberichte der Koniglich Preussichen Aka- 
demie der Wissenschaften Bd. XXVI (1911). Nel seguito questa nota verrà brevemente indicata scrivendo C. L. 
(***) C. L. § 4. 
( '*'***) Adotteremo in generale la notazione (x 0 , r) per indicare il cerchio di centro .r 0 e raggio r. 
(«-***) Fino dal 1903 il Vitali (cfr. la Nota: Sopra le serie di funzioni analitiche negli Annali di mate- 
matica pura ed applicata, cap. IV, § 3) aveva dato il teorema che « se 
u l ! !t i , U/l , 
è una successione di funzioni analitiche finite e monodrome , convergente in ogni punto dì un campo sem- 
plicemente connesso C, e se inoltre le funzioni suddette non assumono mai i valori o ed i , la successione 
converge verso una funzione analitica finita e monodroma in C ». Più tardi il Sig. MONTEL [ Su > Ics points 
irréguliers des scries convergentes de fonctions analytiques ; Comptes rendus hebdomadaires des séances de 
l’Académie des Sciences, Paris, T. CXXXXV (1907) pp. 911-912 — Le;ons sur les scries de polynomes à une 
ATTI ACC. SERIE V, VOL. V, Meni. VII. 
