Carlo Severi ni 
[Memoria VII.] 
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Considerando invece di due quantità fisse a e b due quantità a n e b„ dipendenti dal- 
1’ indice n (*) si ha inoltre il 
Teorema II. (**) Le finis ioni analitiche 
J 2 ) fn (X) (il — 1 , 2 ,..., 00 ) 
siano per | x | <1 1 regolari ; non assumano mai due valori complessi a n , b„ , sog- 
getti (die condizioni 
I «/J < T , I bn | < Y, I a n —b H ! >— , 
ove ? è una costante positiva, finita, non nulla , ed in infiniti punti , aventi almeno 
un punto limite interno al cerchio (o, 1), tendano, al crescere di n, ad un limite de- 
terminato e finito. Esiste allora per ogni \ x 1 < 1 il : 
lini f n (x) = / O) , 
ed f (x) è per \ x | <[ 1 regolare. Di più la (2) tende in egual grado ad f (x) nei 
punti di (o, 0), ove 0 è una quantità fissa, qualsivoglia , che soddisfa alla condi- 
zione o < 6 < l . 
2. — Risultati più generali, nei quali non si esclude che le funzioni f n (x) possano 
anche assumere i due valori ad esse associati , dipendenti o no da il , seguono dalle ri- 
cerche che gli Autori espongono nei successivi §§ della loro Nota. A tali ricerche accen- 
nerò nel seguente §; qui riporto intanto i seguenti risultati, a cui io sono in quest’ordine 
d’ idee pervenuto (***). 
variable complexe; Paris, Gauthier-Villars ( 1 910), pp. 124-125] ed io [Sulle successioni infinite di funzioni 
analitiche; Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici, Voi. Il, Sez. I, p. 188] arrivammo allo stesso 
risultato , aggiungendo in più la convergenza uniforme della successione in ogni area interna all’ area data. 
Riguardo alla dimostrazione del Vitali i Sigg. Carathéodory e Landau osservano (C. L. § 4) che essa 
presenta una lacuna , soggiungendo che non vedono la possibilità di colmarla senza 1’ ipotesi che esista al- 
meno un punto ,4'q in cui il lim u n (a'o) sia diverso da « e da 1. Riguardo alle dimostrazioni date dal Montel 
n = «> 
e da me, in cui si fa uso del teorema di Osgood , secondo il quale dalla convergenza in un’ area della suc- 
cessione di funzioni segue che esiste un’area parziale ove la convergenza è uniforme, essi obbiettano che nel- 
1’ area parziale in discorso può il limite della successione essere costantemente eguale a o, ovvero ad 1 , e 
non esistere quindi, come viene da noi asserito, un punto x { ove è diverso da ciascuno di questi due valori. 
Ora io desidero qui osservare che la nostra asserzione equivale ad ammettere che vi sia almeno un punto x 0 , 
interno all’area data, in cui detto limite è diverso da o e da 1 : ciò si rileva dallo stesso nostro ragionamento, 
che in tal caso è pienamente applicabile. La dimostrazione potrebbe venire completata, pel caso che non esista 
un punto x Q cosi fatto, mediante un artifizio dovuto al Sig. Bernays (C. L. p. 597) , il quale condurrebbe a 
ragionare sopra funzioni che non assumono mai valori interi, e non lasciano perciò adito all’obbiezione dianzi 
detta ; ma oramai non è più il caso, avendosi il teorema I, di dilungarsi su questo punto. 
(*) Cfr. Vitali, I. c. cap. IV, § 6 — Severità, I. c. 8 6. 
(**) C. L. § 5. 
(***) L. c. 8. 9. 
