Sulla convergenza uniforme delle successioni di funzioni analitiche 
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Teorema III. Si associno ad un punto x 0 del piano della variabile complessa 
x le quantità : 
(3) 
, ( v ) , . 
fri (pC o ) 
I v = 0, 1, .... ,oo\ 
\*= 1 , 2 , 
scelte in modo da avere : 
lim 
V~ oo 
00 ), 
ove r indica una costante positiva, non nulla ; e s' indichi con K un’area qualsi- 
voglia connessa , conlenente il punto x 0 , entro la quale ciascuna delle serie: 
OC 
P n ( x , .r 0 ) =r fo>) {x—xfjì (n = 1, 2,..., oo ) 
possa essere continuata analiticamente, e dia luogo ad un ramo di funzione ana- 
litica , uniforme f n K (x). 
Affinchè in ogni area K' interna a K /« successione : 
( 4 ) 
fa K (X) 
00 ) 
converga in egual grado ad una funzione analitica regolare , è necessario e suf- 
ficiente : 
a) che per ogni v fìsso, le quantità (3) tendano, al crescere di ad un limite 
determinato e finito ; 
b) c/z£, almeno a partire da un certo valore dell' indice n in poi, gl’insiemi 
G a , G t) dei punti interni a Iv, ove qualcuna delle (4) assume rispettivamente due 
valori complessi a, b distinti fra loro e diversi da lim f n (0 ' (x 0 ) siano riducibili e 
/*= 00 
non abbiano come punto limite il punto x 0 . 
Teorema IV : Nelle ipotesi del precedente teorema , affinchè in ogni area K' 
interna a K la successione (4) converga in egual grado ad una funzione analitica 
regolare, è necessario e sufficiente : 
a) che per ogni v fisso le quantità (3) tendano , al crescere di n , ad un li- 
mite determinato e finito ; 
b) che, almeno a partire da un certo valore dell' indice n in poi , gl' insiemi 
H a , Hi, dei punii interni a K, ove le (4) rispettivamente assumono due valori com- 
plessi a„ , b M , tendenti \ al crescere di n, a limiti determinati e finiti a e b, fra loro 
distinti e diversi da lim f <0) (x 0 ), siano riducibili e non abbiano come punto limite 
n— oo 
il punto x 0 . 
