Sulla convergenza uniforme delle successioni di funzioni analitiche 
.) 
e di più nella parte di (o, r) esterna ai cerchi {x t , p ( ) la (6) converge uniformemente nel 
senso ordinario a ( I> {x), mentre nei cerchi {x tì p,) converge uniformemente nel senso or- 
dinario ad ~ — - la successione : 
<I) {x) 
1 
E n {X) 
(»= 1, 2...,ao) (-). 
Ciò posto si ha il seguente 
Teorema V (**). Siano le funzioni analitiche : 
( 7 ) fn(x) (v = 1 , 2 , .... , co) 
per | x [ <1 meromorfe. Esistano tre differenti costanti complesse a, b, c (***) e 
tre numeri interi positivi k, 1, m (****), tali che sia : 
h 1 / 
e che per o < j x | < l /' ordine (*****) di ogni zero di f n (x) — a ( rispettivamente 
di 
fn (x) 
se a = oo ) sia divisibile ( 
****** \ 
) per k ; ed il medesimo si verifichi se a 
e k rispettivamente con b ed 1, ovvero con c ed m, vengono rimpiazzati. Inoltre 
in infiniti punti, aventi almeno un punto limite interno al cerchio (o,l), esista il 
li in f n (x) , 
e questo limite sia, almeno in un punto, finito. 
Esiste allora per ogni j x j <M il 
lini fa (x) — f [x ) , 
ed f (x) è per | x | <1 una funzione meromorfa. Di più la (7) converge unifor- 
memente ad f (x) nei punti di (o ,0), ove 6 è una quantità fissa, qualsivoglia , che 
soddisfa alla condizione o < ft < 1 . 
(*) Si dimostra che se la convergenza uniforme delia (6) ha luogo per un certo sistema di cerchi (.17, p ( ), 
essa ha del pari luogo per ogni altro sistema di cerchi (.vi, p'/). 
(**) C. L. § 6. 
(***) y no (j e j numeri a, b, c può essere °° . 
(****) Ognuno dei numeri k , l, m può essere 00. Dire che è k— » significa, ad es. per a finito, che la 
funzione//! {x) — a è identica a o ovvero non si annulla per o f | x | <^ z . 
(*****) Se la funzione è identica a o il suo ordine (») s’intende, per ogni x e per ogni k, divisibile per k. 
(*#****) è quanto dire che (f n {*) — «) fc , rispettivamente ( 1 ) k , è nell’intorno di ogni zero, nel 
7 'fa \x)) 
campo ° <f | x \ f 1 , uniforme. 
