Sulla convergenza uniforme delle successioni di [unzioni analitiche 
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Se da ogni successione parziale infinita della (9) si può estrurre una nuova 
successione parziale convergente per | x \ <C 1 cui una funzione meromorfa , la 
successione (9) converge per \ x | < 1 ad una funzione meromorfa (*) , ovvero 
V insieme dei punti di convergenza della (9), nel cerchio (o, t), non ha nessun punto 
limite interno a questo cerchio. 
B. (**) Le funzioni (9) siano per ] x j < 1 ad un valore , e si possa da ogni 
successione parziale infinita della (9) estrarre una nuova successione parziale , 
la quale per I x | < 1 converga ad una funzione meromorfa , ed uniformemente 
nei punti di (o, 0), ove 0 è una quantità fissa qualsivoglia , che soddisfa alla con- 
dizione o < 0 < I . Se la successione (9) converge per | x ( <1, essa converge uni- 
formemente per | x | <& 0. 
Riprendendo dopo ciò il teorema VI è chiaro, ferma restando 1' ipotesi che in infiniti 
punti, aventi almeno un punto limite interno al cerchio (o, 1), esista il 
H m fi (*) , 
e che questo limite sia, almeno in un punto, finito, che alla medesima conclusione si può 
giungere tutte le volte che è possibile da ogni successione parziale infinita della (8) estrarre 
una nuova successione parziale , soddisfacente alle condizioni di quel teorema. Ciò ha 
luogo, come subito si vede, ammettendo che ciascuno dei numeri interi positivi li, l, m 
possa variare con n, mantenendosi, quando non è co , inferiore ad un limite fìsso, finito. 
Si ha così il 
Teorema VII. Le funzioni analitiche : 
(10) ‘ /«(a?) (« = 1, 2 , ...., oc) 
siano per | x | <T 1 meromorfe. A ciascuna di esse si possano associare tre nu- 
meri k n , ]„, m„, ognuno dei quali sia intero positivo inferiore ad un limite finito 
assegnabile , ovvero co, in modo che si abbia: 
m n 
{n = 1, 
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oo), 
e tre differenti costanti complesse a n , b„, c„ colle seguenti condizioni : 
a) per nessuna successione parziale n v per la quale esistono : 
lim a llv = a, lini b„ v — p, lim c„ w = y 
due qualunque delle tre quantità a, p, y risultino eguali ; 
b) per o < ! x \ < 1 /' ordine di ogni zero di f n (x) — a n {rispettivamente di 
(*) In un polo della funzione limite ciò significa, come sopra è detto, che il limite della successione è «> . 
(**) C. L. § 6. 
