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Carlo Severini 
[Memoria VII.] 
- — — se a n = x) sia divisibile per k n ; ed il medesimo si verifichi, se a n e k„ ven- 
gono rimpiazzali con b„ ed l n , ovvero con c„ ed m n . 
Esista inoltre in infiniti punti , aventi almeno un punto limite interno al 
cerchio (o, I), il 
lim f n (x) , 
n— co 
e questo limite, in un punto almeno , sia anche finito. 
Esiste allora per ogni j x | <C 1 il 
lim fa (x) — f (x) 
ed f (x) è per J x | < l una funzione meromorfa. Di più la (10) converge unifor- 
memente ad f (x) nei punti di (o, 6), ove 0 è una quantità fissa, qualsivoglia, che 
soddisfa alla condizione o O 0 < 1. 
5. — Le ipotesi del teorema VII, che, come abbiamo visto, è una generalizzazione 
del teorema VI (e del V) comprendono per 
C'n — co {n = 1, 2 oo) 
quelle del teorema II e quindi quelle del teorema 1. 
D’ altra parte, se si sa che una successione di funzioni analitiche : 
(11) f n (X) (»= 1,2, ....,00) 
regolari per -) x | <1, 1 converge per | x j <T 1 , nel senso del precedente § , ad una fun- 
zione meromorfa f (x), ed uniformemente nei punti di (o, 6') , ove 6 è una costante fìssa, 
qualsivoglia, che soddisfa alla condizione o < 0 < l , si può senz’altro asserire che la / (x) 
è per | x [ <)1 regolare. Per ogni valore fissato C di 0 si può infatti trovarne un altro 
maggiore 6 ", tale che sulla circonferenza (o, 0") non cadano poli di f (x) : la (11) con- 
verge allora uniformemente, nel senso ordinario, su tale circonferenza, e quindi in tutto il 
cerchio (o, 6'), ciò che prova quanto abbiamo dianzi asserito. 
Dal teorema VII si raccoglie per le successioni di funzioni analitiche, regolari il se- 
guente 
Teorema Vili. Le funzioni analitiche 
(12) fa (x) (11= 1, 2,.. .., 00 ) 
siano per \ x | 5^ l regolari. A ciascuna di esse si possano associare due nu- 
meri k n , l n , ognuno dei quali sia intero positivo inferiore ad un limite finito 
assegnabile, ovvero oo , tali che si abbia : 
K 
+ 
< l 
(n= l, 2 . . . . ,oo), 
