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Sulla convergenza uniforme delle successioni di funzioni analitiche 
e due differenti quantità complesse a„ , b n , minori in modulo di una costante po- 
sitiva finita, colle seguenti condizioni : 
a) per nessuna successione parziale n v , per la quale esistono : 
Hm a llv = a , lim 6, <v = P 
risulti a = p ; 
b) per o < i x | l l'ordine di ogni zero di f n (x) — a n e di f n (x) — b n sia 
divisibile rispettivamente per k„ cd l n . 
Esista inoltre in infiniti punti , aventi almeno un punto limite interno al cer- 
chio (o, 1 ), il 
lim f n (x). 
il— - 00 
e questo limite sia, almeno in un punto, finito. 
Esiste allora, per ogni \ x | <C Ì , determinato e finito, il 
lim fn (x) = f (x) , 
n=- oo 
ed f (x) è per | x ; <C 1 una funzione regolare. Di più la (12) tende uniforme- 
mente ad f (x) nei punti, di (o, 9), ove (1 è una quantità fissa, qualsivoglia , che 
soddisfa alla condizione o < 6 < 1 . 
6. — Il teorema Vili può essere generalizzato in modo da non escludere che le fun- 
zioni (x) — a n , f n (x) — b n possano ammettere degli zeri, il cui ordine non sia divisi- 
bile rispettivamente per k n ed l n . 
Merita in modo speciale di essere enunciato il seguente teorema IX , che subito si 
dimostra con ragionamento analogo a quello svolto nei §§ 5, 6, 8 della mia Nota citata 
in principio : 
Teorema IX. Le funzioni analitiche 
(13) fn{x) fn— 1,2,...., oc) 
siano per | x ! <£ 1 regolari. A ciascuna di esse si possano associare due numeri 
k tl , I n , ognuno dei quali sia intero positivo inferiore ad limile finito assegnabile, 
ovvero oo, tali che si abbia : 
< 1 
di 
1 9 
1 j z r 
.co 
)> 
e due differenti quantità complesse a n , b n , minori in modulo di una costante po- 
sitiva finita, colle seguenti condizioni : 
a) per nessuna successione parziale n v , per la quale esistono: 
lim a„ v = a, lim b„ v = p 
risulti a = p ; 
