Memoria XX 
Sulle equazioni funzionali 
Nota 111 di CARLO SEYERIN1 ( *> 
In questa terza Nota mi occupo, come nelle due precedenti, di equazioni funzionali 
del tipo Volterra con una variabile indipendente, rimandando ad altra occasione lo studio 
delle equazioni con più variabili indipendenti. Generalizzo dapprima il risultato ottenuto 
nella Nota II, (**) relativo all’equazione non lineare di prima specie: 
' 1 ) f 0 (x, y, <? (y) ) dy = F ( x ) ; 
J Xo 
passo quindi a considerare equazioni di ordine superiore, alle quali dà luogo l’introduzione 
di nuove operazioni, che si ottengono, applicando più volte, nel modo che sarà precisato al 
§ 6, l’operazione definita, per il funzioni continue s l (x), (x), . . . , s n (x), dall’integrale: 
(2 ) ì f {x-, y, s i (y) s a (3') ) dy , 
J Xo 
operazione pienamente determinata, quando sia nota la f (x, y, ... , s n ), che chiameremo 
la sua funzione caratteristica, finita, assolutamente continua, e tale che il precedente in- 
tegrale abbia significato in un intorno di x 0 . 
1. Nella Nota II (§ 7) ho dimostrato 1’ esistenza di una soluzione per l’equazione (1), 
ammettendo che le funzioni note ( I> (x,y,z), F(x) fossero finite, assolutamente continue 
3 3 (1 
insieme alle loro derivate prime ( I> (x, y, s ) , ( I> [x, y, s) , ^ F (x), nel campo : 
(3) 
x— x 0 | <; «, | y—x 0 
a 
3 - 
ove x~„ , z 0 sono due quantità assegnate quasivogliano, a e b due costanti positive, e che 
soddisfacessero alle condizioni : 
F (Xc) = o, 0 (x 0 , x 0 , s 0 ) = F' (Xo), I 0 (x, y, a) — $ (x, y ', s) i ^ H \ y—y | , 
97 (I) Uù JS a) ~ 37 (I) &,y, 8 ) | x— x | , 0 (x, x, s) 
in 
F' (x) — F' (x'i \^H\ x—x | , 
con Fi ed in costanti positive, finite, non nulle. 
(*) Comunicata all’Accademia nell’adunanza del 2 Maggio 1912. 
(**) § 7. 
ATTI ACC. SERIE V, VOL. V. Metti. XX. 
