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Carlo Severi ni 
[Memoria XX.] 
Il procedimento seguito per arrivare a questo risultato si fonda essenzialmente sulla 
possibilità di costruire, nelle dette ipotesi, due successioni infinite di polinomi razionali 
interi : 
(4) 
~) > F > ix) 
(v ss 1,2, 
, °°), 
in modo che risulti nel campo (3): 
4) (x, y, s) — ( I> V (x, v, s) 
d 
d. 
7 (J, v 
K-A-o. 
I ì 
4r (1> v (*, •3') 
77 4> v (x, v, s) ^ A" + o. 
w— a v 
(5) 
i! 
a* 
« (I) v (x f y t 8 ) ^ o v , : F(x) - A v (x) 
F' (x 0 ) — A/ (x 0 ) ; < o , 
d~ „ , . 
< À'-fo 
1 
(v = 1,2, 
, oo) , 
ove A' è una quantità positiva, maggiore od uguale di H e del massimo valore assoluto 
a . 
di (x, v, 3 ) , e s intende che sia : 
dx s ~ 
una successione di numeri positivi, minori di in, decrescenti, tendenti a zero. 
Vogliamo ora far vedere che' la costruzione dei polinomi (4) colle condizioni (5) è 
possibile sotto ipotesi meno restrittive per le funzioni ( I> (X, y, s), F (x). 
Cominciamo coll’ occuparci dei polinomi Fv (x). 
Consideriamo la funzione: 
F, (x, k) = 
k 1 x 
F k (u) e 
U — X 
. 2 
du , 
ove n è una nuova variabile reale, k un parametro reale, positivo ed F t (w) una funzione 
coincidente con F (u) per ogni u compreso fra x 0 — a ed xo-| -a, costantemente eguale 
ad F (xo — a) per u x 0 — a, costantemente uguale ad F (x 0 -j- a) per u x 0 -f- a. 
Per ogni valore fìsso non nullo di k, la F, (x, k) rappresenta, come si sa (*), una fun- 
zione trascendente intera della variabile x, ed al tendere di k a zero, tende in egual gra- 
do ad F (x) nell’intervallo (x 0 — a, Xo-j-rt). 
, u — x . , 
Ponendovi u in luogo di — r — si ha: 
F, (x, fi) 
u 
A, (x-f- Ini) e u du . 
(*j Cfr. ad es. Borei: Leeons sur les fonctìons de variables rèelles et les developpemenls en sèries de 
polynomes ; Paris, Gauthier — Villars, 1906. 
