Sulle equazioni funzionali 
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Supponiamo ora che per ogni x ed x-\-h appartenenti ad (xo — a, Xo-\-a) si abbia: 
F{x + h)—F(x) 
h 
i 
^ H, 
H essendo, come sopra, una costante positiva, finita; di più ammettiamo che in un intorno 
(xo — <5, x 0 -|-^) del punto x 0 esista, finita e continua, la derivata F' ( u ). 
Detta F 2 (u) una funzione che in (pc 0 — S, x 0 -f- 5) coincide con F' («), ed è costan- 
temente uguale ad F' (x 0 — 8) per ogni u x 0 — 5, costantemente uguale ad F' (x 0 -f- i) 
per ogni u x 0 -[- &, si consideri la: 
F 2 (x, k) — — L- / F 2 (x -f ku) e " du 
Per un valore fisso qualsivoglia di v, si determini una quantità positiva ò v abbastanza 
grande da avere : 
2# -«» . ^ 
- / e du < 
I 1 
9 ' 
Posto allora: 
A F, (x, k) 1 I F l {x -f ku -f li) — F, (x -f ku) u * d;i 
li 
h 
si avrà, qualunque sia k : 
( 6 ) 
A F t (.r, kì 
h 
U 
, * v 
F l (x -j- ku li) — F L (x -j- ku) 
j e du 
li 
( 7 ) 
F, (x, k) 
F 2 (x — ku) e du 
-à* 
Si assegni dopo ciò al parametro k un valore k s minore di . Per ogni x com- 
V 1 v 
8 o o 
preso nell’intervallo (Xo — , Xo “h “T - ) e P er °gni | h | <— si potrà scrivere: 
+ ò„ 
U 
F l (x+k v u-j-h) — F l {x+k^u) _ M t 
e du 
li 
A 
\ * 
F, {x-fk v u -|-0 V li) e “ du, 
— 
ove 0 V è una quantità dipendente da x e da u, ma che rimane sempre compresa fra a 
