Sulle equazioni funzionali 
o 
(18) 
dx 2 b ' J ^ dx 2 Fl k ' J ] 
il che è possibile per la convergenza uniforme delle tre precedenti serie. 
Dalla (11) e dalla (16) segue allora: 
F(x) — F v (x) | ^ o v 
{x 0 — a <gX x 0 -f- a ) , 
e dalle ( 10), (12), (17) : 
! F' (x) — F v ' (x) 
ar 0 — y <.r<Xo+yj . 
I polinomi Fv (x) devono anche soddisfare alla condizione che le loro derivate se- 
conde si mantengano in tutto 1’ intervallo (xo — a , Xo -f- a) minori, in valore assoluto, di 
una costante positiva finita. Perchè ciò si verifichi basta supporre che nell’ intervallo 
(xo — a, Xo -j- a) si abbia, per ogni li reale non nullo : 
F[x - f 2 h) + F (x) — 2 F (x + h) 
li 1 
-F H, 
H essendo la solita costante positiva finita, perchè allora, avendosi: 
d* 
dx' 
F t {x, kf = lini 
li — o 1 Tt 
Z’ + 00 
F, (x-f/v’ v u -f 2 li) -j- F, (x-j-ky u) — 2 Ffx- \-k,, il -(- h) _ M s 
e dl S 
segue immediatamente 
e quindi per la (18): 
d 2 
dx 
T F 1 (- r ’ V) 
< H 
d 2 
' dx 2 
Fy (X) 
< H 
Riguardo ai polinomi Ov ( x,y,z ) le condizioni (5), che essi devono verificare, si tro- 
vano analogamente soddisfatte, se si ammette che si abbia nel campo (3), per ogni li reale, 
non nullo: 
SS H, 
SS H, 
fd in , 
0 (x 4- li, r, z) — 0 (x, y, z) 
li 
0 (x. y -j- h, z) — 0 (x, y, z) 
li 
0 (x, x, 5- -f- li) —0 (x, x, z) 
h 
<I> (x -f- 2 h, y, z) -f (D (x, y, z) — 2 0 (x -f h,y, z) 
Ir 
< H, 
H ed m essendo, come sopra, costanti positive, finite, non nulle. 
Da quanto abbiamo fin qui detto si raccoglie il seguente teorema : 
