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Carlo Severini 
[Memoria XX.] 
Nel campo-. 
( 3 ) 
I x — Xo \ a, I y — x 0 | a, | z — Zo j <1 b , 
ove x 0 , z 0 sono due quantità assegnate qualsivogliano ed a e b due costanti posi- 
tive, la funzione ( I> (x,y, z) sia finita, assolutamente continua e soddisfi , per ogni 
h reale non nullo, alle condizioni : 
<I> (x-\ -h,y, z) — <D (, x,y , z) 
h 
<D {x, y -f- h, z) — d) (x, y , z) 
h 
d) {x, x, z -[- lì) — 0 [x, x, z) 
~h~ 
m , 
<t> {x-f 2h,y,z) -f-$ {x,y, #) — 2 0 {x-\ -h, v, z) 
W~ 
H ed m essendo due costanti positive , finite , non nulle. 
Sia ancora F (x) una funzione finita e continua nell’ intervallo (x 0 — a, x 0 -j-a), 
con derivata finita e continua in un intorno (x 0 — §, xo -f- o) del punto xo, soddi- 
sfacente inoltre alle condizioni-. 
\F{x -(- h) — F(x) 
F(x 
+ 2 h) + F(x) — 2 F(x+ h) | 
h 
h 2 
^ H , 
F {x 0 ) = 0 , F' {xo) = <D (x 0 , x 0 , z 0 ) 
4 H 
m 
m 
e con 1 la mi- 
Se con L s’ indica la maggiore delle tre quantità H, 
nore delle due quantità a, ^ - J~ ^ , in ogni intervallo (xo — l — {— £, xo-j-l — e) , 
ove £ è un numero positivo , minore di I, che può essere scelto arbitrariamente 
piccolo , esiste almeno una funzione finita e continua v (x), che soddisfa all'equa- 
zione : 
f*x 
(2) / 0 [x, y, <p (v) ) dy = F (x) , 
ed assume per x=x 0 il valore zo. 
Osservazione. — r Un risultato analogo può stabilirsi per un sistema di equazioni non 
lineari di prima specie: 
■X 
(x, 3', (3'), 
, < p « ( 3 ^) ) = F i ( x ) 
(i 
, il), 
come è facile vedere, e come d’ altronde segue anche dalle considerazioni che andiamo a 
fare. 
2. Il sistema 
(t9) 
dZ 
dx 
—fi {x, z , (, x ), ... , (a?)) + £■; (#, •s'i (■*)>••■ , (x)) / ^ (x,y, s i (y ) , ... {y) ) rfy 
(J = 1,2,...., n) 
