Sulle equazioni funzionali 
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che ci ha servito di base per le ricerche dianzi esposte (*) non è che un caso particolare 
di una classe assai vasta di sistemi di equazioni funzionali, ai quali i risultati per esso 
stabiliti possono facilmente estendersi. 
Per determinare la classe dei sistemi di equazioni funzionali, a cui alludiamo, ripren- 
diamo l’operazione (2) che, come abbiamo osservato, è pienamente determinata, quando è 
nota la sua funzione caratteristica f (x, y, z l , . . . . z n ). 
Date p funzioni finite, assolutamente continue, di n - j- 2 variabili : 
(20) f (x, v, s t , . 
ed una funzione di n-\-p-\~2 variabili: 
(./ = 1 , 2 , />) 
& 
^ n ? 
u t 11,, ... , Up ) 
anch’ essa finita, assolutamente continua, c’ è luogo a considerare le operazioni : 
(22) / f. ( X ,y, z { (v), ,• z n ( y) ) dy (/ = 1 , 2, , p) 
. x 0 
relative alle funzioni caratteristiche (20) e 1’ operazione composta: 
(23) I g [, x , y, s { (y) z n (y) ; j /, (y, t, z^t),..., z n (/)) dt, ... ,1 f p (y, t, z { (t ), (/)) dt] dy 
X 0 t/ 1 21 0 kJ 2V"o 
che ha per funzione caratteristica la (21), se gl’integrali che per le (22) e la (23) occorre 
considerare hanno significato in un intorno del punto Xo. Ad indicare che le condizioni 
per ciò richieste sono soddisfatte, diremo brevemente che le (20) e la (21) costituiscono 
insieme un sistema completo di finizioni caratteristiche. Si può così continuare e con- 
siderare operazioni di ordine superiore rispetto a dati sistemi completi di funzioni caratte- 
ristiche, convenendo di dire del primo ordine le operazioni che come la (2), operano im- 
mediatamente sulle funzioni date z L (x), . . . , z n (x) ; del secondo ordine quelle, in cui del 
sistema di funzioni, alle quali si applicano, fanno parte funzioni dedotte dalle funzioni date 
mediante operazioni del primo ordine, e così via. 
Ciò posto consideriamo un sistema di equazioni della forma: 
(24) 
zi (x) + / <D, dy = Fi (x) 
(/= 1, 2, ... , n) 
ove le O, , che come le (x), si suppongono finite, assolutamente continue, dipendono ora 
da x, y, z { (v), . ... z n (v) e da un certo numero di operazioni di diversi ordini, quali 
sopra sono state definite. 
Il sistema (19), più generalmente il sistema: 
/ x 
dx 
=/<[*>*,(*) .*«(*). I £.(«, y,«i(y). e„[v))dy J 
(*= 1,2,..., n> 
A'o 
(*> Cfr. Nota 11. 
