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Cario Severin i 
[Memoria XII.] 
inabili, e per ogni x, al crescere eli n, tendano al limite deter- 
minato e finito f(x). Inoltre si abbia : 
n> 
(i) 
I fn ( x ) I ^ |/(*) 
\f n (®)| dx M (n = 1 , 2 , ... oc), 
ove M indica una costante positiva, finita. 
Sotto tali ipotesi la f (x) è soinmabilile, e di più: 
r r 
(2) f(x) dx = hm / f n (x) dx. (*) 
I n— oo } 
a a 
Per la dimostrazione scomponiamo ciascuna delle f n (x) nel- 
la somma delle due funzioni f n (x), K (%), definite come segue : 
<p„ (x) = f n (x) per ogni x in cui f n (x) ^ 0 
«P« (*) = 0 » » » » f n (x) < 0 
K (®) — — ,f n (atj » » » » /« (®) ^ 0 
( x ) = 0 » » » » f„ {x) > 0. 
Le <p n (%) , Li {x) risulteranno del pari sommabili e, posto : 
cp (x) = lim f n (x), cj> (x) = lini <]>,< ( x ): 
n~co nzzoo 
sarà : 
( 3 ) / (x) = f (*) -(- (&')• 
Consideriamo la successione delle fn (x). 
Indicando con (i = 1,2, ... , oo ) una successione crescente 
di numeri positivi, tendenti all’ infinito, tali che le differenze 
(*) Se la f {x) fosse limitata la 2 a delle condizioni (1) sarebbe una conseguenza della 
prima, e questa porterebbe che le f n (x) sono limitate nel loro insieme, cioè qualunque sia- 
no x ed n, nel qual caso si sa già sussistere la (2). Cfr. Lèbesgue 1. c. p. 114. 
