Sulle funzioni .sommabili . 
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l i+1 — gabbiano un limite superiore Unito, e con £} (7 X <_ <p(#) <T 7J 
l’insieme dei punti di [a, b), in cui è <p (x) < l i , sarà: 
(4) / ' p, ( (a?) <: j cp n (®) dx \f n gc)| ^ 3/ 
E \k^$ (x )^h] a 0 
n — 1.2, . . . , oo\ 
i = 1,2, . . . , oo) ' 
Per ogni ? fìsso, qualunque sia x appartenente all’ insieme 
E [Zi <T cp (x) <_ZJ, le funzioni 'f„ (x) si mantengono tutte minori 
od uguali ad f l ■ ; si può quindi scrivere, per un teorema di Le- 
besgue (*). 
I cp„ (a?) dx = I cp (x) dx , 
E [I ^ cp (*) ^ h\ E (7, ^ cp (*) ^ h] 
donde segue per la (4) : 
( 5 ) 
<; M (i = 1 , 2, , oo) 
E [h <_ cp (x) < I,} 
Formiamo ora, posto l 0 = 0, le due serie (**) 
( 6 ) 
;cp J iE, ; I, m E [l t <p O) < b+i I 
0 ' 
(P 
Ecp — E, l, m \E < cp (x) < /, +1 1 
1 I 
Avendosi per ogni valore ?" di ? : 
'E, I, m | E [l ( < cp (a?) < I, +T J j ^ / cp (®) 
^ [ò ^ cp (a?) ^ Ò'I 
(*) 1. c. pag. 114. 
(**) Cfr, Lebesgue. 1. c., pag. 115. 
