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Carlo beverini 
[Memoria XII.J 
2. Data una funzione f(x) misurabile, non limitata, si può 
in infiniti modi costruire una successione di funzioni f n (x) som- 
mabili e soddisfacenti nei punti dell’ intervallo (a, //), alle con- 
dizioni : 
(11) lini f n (x) = /(*), | (.r) | ^ | f (x) | (n —1.2, , oo) : 
n~<x. 
basta infatti considerare due successioni di numeri positivi, ten- 
denti all’ infinito : 
-A i , A 2 1 ’ • ’ 
• • • A *„ 
v 2 , . . 
. . . , A" 
e definire le f n (x) nel seguente modo : 
fn ( X )=W( X ) per ogni x ìli cui — N', t < f ( x ) < Jb\ 
f n {x) — K u » » » » » f (x!> N .. 
f n (x)— — N’ n » » » » » f(x) < 1 — N’ n . 
Ad ogni successione così ottenuta possono applicarsi le con- 
siderazioni sopra svolte, quando si voglia decidere se la funzione 
data è sommabile , bastando anzi riconoscere che per due spe- 
ciali successioni di valori di N H , JY n ' risulta soddisfatta la se- 
conda delle (1) ; e nel caso che la f(x) sia sommabile dovranno 
sussistere le relazioni (8), (9), (10), ove, ben s’intende, l e f n (x) 
siano definite come ora si è detto, e le [x) , <|>„ (x) da queste 
dedotte nel solito modo. 
Potendosi ciò ripetere qualunque siano le successioni (12) 
si conclude, che se la f(x) è sommabile, il suo integrale è il li- 
mite a cui tende l’integrale f n (x)dx, quando N n , N' n tendo- 
no in modo qualunque, 1’ uno indipendentemente dall’ altro, al- 
l’ infinito. Viceversa se quest’ ultimo integrale tende sempre ad 
