Sulle funzioni sommabili. 
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un medesimo limite determinato e finito A , indipendente dalla 
rb 
scelta delle quantità N n , N' n , dovendo i due integrali / (x) dx 
(x) I dx ed anche la loro somma : 
r r 
«Ptt Ò C ) dx + / l'M’*) | *»=/ | fa (») I dJJ 
tendere a limiti determinati e finiti, e mantenersi quindi costan- 
temente minori in valore assoluto di una quantità positiva, fi- 
nita, si può, per quanto è stato sopra detto, concludere che la 
f (x) è sommabile, e si ha : 
fb 
I f(x) dx = A. 
a 
Il concetto d’integrale dato da Lehesgue per le funzioni mi- 
surabili, finite, non limitate, si può dunque dedurre dal suo con- 
cetto d’ integrale delle funzioni misurabili, limitate, nello stesso 
modo col quale De la Vallee- Poussin, (*) partendo dall’integrale 
di Riemann ha dedotto il concetto d’ integrale definito, impro- 
prio, assolutamente convergente. 
Volendo rifare in questo caso la teoria di De la Vallée-Pous- 
sin occorrerebbe presupporre la rinchiudibilifà dell’ insieme dei 
punti d’infinito, dei punti cioè in ogni cui intorno il limite su- 
periore di | f(x) | è infinito; è però facile vedere che questa con- 
dizione è necessaria anche per la definizione di Lehesgue. Do- 
vendo infatti la misura dell’insieme E [ f | ] , ove h ha 
il significato detto nel § 1, tendere a zero, al crescere di i, se 
f (x) è sommabile, ne viene che, scelto un numero positivo e ar- 
(*) lournal de Lionville, S. IV, T. Vili (189U), 
