Memoria If. 
Sullo sviluppo di uua funzione reale di due variabili reali 
In serie doppia di Fonrier. 
IHeinoria di CARLO SEVERINl 
L’ argomento, di cui vogliamo occuparci, è stato oggetto di alcune interessamenti ri- 
cerche nel caso delle funzioni continue, (*) per le quali restano tuttavia a determinare le 
condizioni necessarie e sufficienti , affinchè possano essere sviluppate in serie doppia di 
Fonrier ; del caso delle funzioni discontinue solo il Prof. Arsela ha recentemente preso 
ad occuparsi in una Nota preliminare, inserita nei Rendiconti della R. Accademia di Bolo- 
gna. f*) 
Scopo di questa Memoria è di esporre alcuni nuovi risultati , che io ho potuto otte- 
nere intorno alle questioni dianzi dette, risultati facilmente estendibili alle funzioni di quante 
si vogliano variabili. 
1. — Indichi /(x,v) una funzione reale, ad un valore, delle variabili reali x ed v, li- 
mitata, doppiamente periodica, col periodico 2c rispetto alla x, e col periodo 2d rispetto 
alla 3', essendo c q d quantità positive, come è lecito supporre. Se m ed n rappresentano 
numeri interi, qualsivogliano, positivi o negativi, sarà ; 
sia la /(x , y) atta all’ integrazione di campo, ed all’ integrazione rispetto ad ognuna delle 
variabili per ogni valore assegnato dell’ altra. 
In tali ipotesi, se u e v sono due nuove variabili reali, h e k due parametri arbitrari, 
positivi, c’ è luogo a considerare, per ogni x , y , h q k fissi (/? e Iz maggiori di zero), 
r integrale della funzione : 
f {x y- l'mc, y rnd) =/ (x, y). 
Supponiamo ancora che per x ed y soddisfacenti alle limitazioni ; 
— c ^ X ^ y c 
d y yy -j- d 
C) Cfr. Picard: Trailé d’Analyse, T. I.; Cerni: Sulla rappresentabilità di una funzione a due variabili 
per seria doppia trigonometrica, Rendic. del R. Istit. Lomb, . Serie li , voi. XXXIV (1901). 
(**) Sul limite di un integrale doppio; 9 Febbraio 1908. 
Atti Acc., Serie V, Vol. II. Meni. II. 
I 
