Sullo sviluppo di una funsione reale di due variabili reali in serie ecc. 
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ove G indica una quantità positiva, di cui è sempre minore il valore assoluto della / (x,y). 
Ciò basta evidentemente al nostro scopo. 
S’ aggiunga che 1’ integrale J si può ottenere mediante due integrazioni successive , 
e che è anche permesso invertire 1’ ordine di queste. 
Per le ipotesi fatte sulla f{x,y) è intanto evidente che l’integrale: 
f ^ 
U — X 
chi 
rappresenta una funzione di v {x ed li s intendono fìssi), limitata, atta all’ integrazione 
nell’ intervallo ( — d .... -]-d), e quindi in ogni intervallo finito ; e poiché al crescere 
di ui ed u\ in valore assoluto, esso tende all’ integrale ; 
f (.11, V) e 
— oo 
u — x\^ 
du . 
uniformemente per tutti i valori di v, delle medesime proprietà gode anche la funzione da 
questo rappresentata. Cosi si può asserire che esiste 1’ integrale doppio : 
*-[-eo fv — J" p~\- 00 
dv I f (u, v) 
e che è uguale ad J. 
Altrettanto può dirsi dell’ integrale doppio 
e però si ha ; 
’+ 00 
f (u, V) 
J = 
f (W) v) e 
V — y 
dv 
come sopra abbiamo asserito. 
