Sullo sviluppo di una funsione reale di due variabili reali in serie ecc. 
9 
Per ogni 1/ non nullo se ne deduce, come sopra, che converge la serie ; 
oo 
0 
n-h- 
^ . Sa (x, V, k) , 
e con essa la serie doppia ; 
OO 20 
/;2 ^2 
4 
ft Ifl' ti. . 
{bill ,i cos — • .Y cos — V -I- b ,, 
nm 
X sen — - V -f' 
+ Ciurli scn 
UT. m~ , n- m- . 
X cos -T- V c ,n a sen — x sen— ^ y). 
c a " ’ c a 
Si arriva così al seguente sviluppo della F {x, y, lì, k) valido , qualunque siano h e 
k, purché entrambi maggiori di zero : 
CO 
(8) F (X, Y, /;, li) — 1’ „ 
0 
Hit , HT miz , 
+ c,n a sen — X cos -r- y -y r ,,, n sen x sen — p- v). 
' c d ' c d 
Si può aggiungere che, per ogni coppia di valori assegnati ad h e k, la convergenza 
di tale serie è uniforme rispetto a tutti i valori di x ed y. 
Indichiamo con T„ {x, y, U) la serie (7) e con T„,,„ (x, v, /^) la somma dei suoi primi 
m termini. Da quanto è stato dianzi detto segue subito la possibilità di trovare un tal va- 
lore m' di ni che, qualunque siano x, y ed n, essendo h e k fìssi, maggiori di zero, ri- 
sulti, tutte le volte che m ^ ni : 
\Th {x,y, k) — T„,ni (x, y. k) [ ^ , 
-f- k' 
, UT, niTi. ,, 
ib,)i }i cos — a; cos— p y + m n 
c a '' ' 
mi: 
X sen V ■ 
a 
ove a è la solita quantità positiva, aibitraiiamente scelta. Sia poi n un valore di //, ab- 
bastanza grande, perchè si abbia, quando n ^ // : 
Potendosi scrivere ; 
CO 
ibGS [k) 
il 
4 
n _ «2F 
F(x,y,h,k)—'^^^e F) Di,/// (x, y. k) e 
0 n 
■/2 m 
(X,y,k) 4- S, 
n- Ifi 
^ irn(x.y,k)—T,i^,„ (x,y,^^]. - 
si vede subito che risulta per n n' ; m > ni : 
F (x, y, /;, k) 
n 
y 
« t 
0 ' 
k^ 
^ • T,ii ,n (at, Yj /c) 
Aiti Acc., Slrìe V, Vol. II. Meni. IL 
