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Carlo Severini 
[Memoria IL] 
e sostituendo al posto di (x, v, k) la sua espressione ; 
F {x, y, h, k) — 
n 
0 
m 
0 
e 
4 (^m^n 
mz miz . , 
COS X COS — V + ^ Ì 7 ì n 
c a ■ 
niT.. 
COS — X sen — r- y -h 
c a 
HTZ VIZ 
c„i a sen — X COS — j- v 
’ c a ' 
, nz tmz 
c ni n sen — X sen— ^ v) 
’ c a " 
come si voleva. 
3. Quanto abbiamo testé detto, ove in particolare la f ix, y) sia continua , nel qual 
caso converge ad essa in egual grado, per tutti i valori di .r ed v, la F {x, y, Jt, k), al 
tendere comunque a zero h & k, il che è ben noto, e sarà del resto anche in seguito 
dimostrato, permette di estendere due notevoli teoremi dati da Weierstrass (*) per funzioni 
di una sola variabile. Se ne deduce infatti anzitutto una rappresentazione approssimata, ed 
a meno di una quantità positiva qualsivoglia, della / Qr, v) per mezzo di un polinomio 
della forma : 
4 0’n,,n COS 
0 0 
IITZ niTZ . , Ma 
— X COS — r y -h 0 n COS — A sen 
c a c 
miz Ma m- 
-j- 4' + Cm.o sen — .v ccs y 
, nr^ nn: 
4 - sen — X sen — y) ; 
c a 
e come conseguenza di ciò il risultato che la / (x, y) medesima è sviluppabile in serie 
di polinomi cosifatti, serie convergente assolutamente ed in egual grado per tutti i valori 
di X ed y. 
Ci pare superfluo insistere su ciò, e ci limitiamo a questo breve cenno, rimandando 
per maggiori dettagli alla citata memoria di Weierstrass. 
4. La serie doppia, che è al secondo membro della (8), se vi si pone h = k —O, si 
riduce all’ altra : 
CO CO 
2j„ (hrn,n COS X COS —y-\-h ,n,n COS X sen — J/ -h Cm.n sen — x cos — y 
f\ f\ c et c et c ei 
(9) 
, «Tt tmz 
-4- Fm.n sen — a sen y) 
che diciamo serie coppia di Fourier. Questa, ove converga, come è necessario se deve 
servire ad una rappresentazione analitica, ci dà il limite a cui la (8) e quindi la F {x, y, h, k) 
tende, quando h q k tendono comunque, anche successivamente, allo zero. Per vedere ciò 
possiamo, nella (8) e nella (9), porre in — n, con che otteniamo le due serie semplici: 
— rfi (F 4- F) «t: «tc , , «t: mti , rnr mi: , 
n ^ ^ y n,n COS a: COS -j- J F P n,n sen — x COS— jy -f- Cn,nC0S — X sen — y 4- 
^4 c et c et c et 
(io) 
, mz mx. 
4- c'n n sen a: sen — y) 
c a ■' 
(*) Ueber die analystische Darstellharkeit sogenannter wilkùrlichen Functionen einer reeller Verànderìichen, 
Sitzungsberichte der Kòniglich preussischen Accademie der Wissenschaften zu Berlin. 1885. 
