Sullo sviluppo di una funsione reale di due variabili reali in serie ecc. 
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^ rnz ,, «- UT n% , ut: «k . 
V {b,i n cos — .r cos —j-y + b n.n sen — .r cos-r- v+ c,,» cos — x seti— j- r + c seri x seti— ^ y) 
V“'— 'n c d c d ^ ’ c d - c d 
0 
i cui valori, per ogni x ed v, coincidono rispettivamente con quelli delle serie doppie (8) 
e (9). Basterà provare che al decrescere di h e k la (10) ha per limite la (11). Poiché i 
termini della (10), per ogni x ed fissi ^ sono funzioni continue di h e /^, che al tendere 
di ^ e ^ a zero, tendono ai corrispondenti termini della (11), le condizioni a tal’uopo ne- 
cessarie e sufficienti si deducono subito da un noto teorema, stabilito dal Dini {*) per serie 
di funzioni di una sola variabile, facilmente estendibile a serie di funzioni di più variabili. 
Senza dilungarci su ciò, che sarebbe affatto superfluo, enunciamo senz’altro tali condizioni: 
esse sono le seguenti : 
a) che la serie (11) converga, 
b) che per ogni quantità a positiva, arbitrariamente piccola, e per ogni numero in- 
tero, positivo, comunque grande, sempre esistano due numeri li e //, maggiori di zero 
ed un valore di n maggiore di n' , tali che per tutti gli h e k, che soddisfano alle con- 
dizioni : 
o ^ ^ , o C. k ^ k' , 
ovvero alle altre ; 
o a h ^ h' , o ^ k ^ k' , 
I resto della (10), calcolato a partire dal detto valore di n, sia numericamente mino- 
re di 0 . 
Si tratta ora di far vedere che la prima di queste due condizioni trae con sé la se- 
conda, della quale pertanto .non fa d’ uopo tener conto. 
Per la convergenza della serie (1 1) possiamo infatti trovare un valore n dell’indice n 
tale che si abbia, qualunque sia r intero, positivo : 
n-\-r 
S UTZ BTC , n% me me 
( p,(.„ cos — X COS y + b sen — x cos — -f- Oi,/i cos x 
, n~ nx 
c „ „ sen — X sen — ^ v) 
' c d - 
c. 
Considerando le quantità: 
, n% nx ,, nx nx nx nx , nx nx 
bn, n COS X COS y -p b n, n sen — x cos — r- y x Cn, n cos X sen — j- r -y- c n,n sen x sen — ^ y, 
c d ' c d c d - c d ^ 
«q-i 
Oh,, 
n-z UT 
cos a: cos — ^ r 
C P ' 
nz Hz nz nz , nz nz 
sen -V cos — r~ v + Cn n cos X sen — y -j- c ^ n sen a: sen — r- y) 
c a ' ’ c a ’ c a 
(hn.nCOS — 
C 
n 
il . . 
X cos — y -f- P //,/; 
nx nx nx nx , nx nx 
— X cos —r y - 4 - c,,n cos x sen —r~- y -f c n.n sen — x sen — - 
c d e d ' c d 
y) 
(*) Fondamenti per la teorica delle funzioni ecc. § 95. 
