12 
Carlo Severiiii 
[Memoria IL] 
minori tutte in valore assoluto di a, e, per ogni h q k fissi, non nulli le quantità positive, 
decrescenti : 
«2 (fc'2 + F) _ (« + 1 )* {ÌO^ 4- I 
4 , , 
(n -t- r)2 -f- 
in base ad un noto teorema di Ade/, possiamo scrivere ; 
n-j-r 
n 
rfi Qfi + k^) 
, MTt n~ ,, 71TZ n-!Z 
4 (bn.n cos X cos — y -f- p n,n sen .r cos — y 
c d c li ^ 
Cn,n COS — X sen — ^ v + 
c d ' 
. , ^ 
-t- c n,n sen .X sen— J- y) I < 
c d - \ = 
ii-i {hi + F) 
4 
e, per la convergenza della (10): 
n 
„2 (7j 2 _j_ k^) 
,, «Tt ni: ,, HTi n~ n~ mz 
^ {btiM cos — X cos — r V + b n.n sen — .v cos — r- v + cos x sen y -\- 
c d ■ c d - c rt 
, im im 
+ c n.n sen X sen- — ^ r) 
c d ' 
n- (/;^4 k^) 
4 
A più forte ragione sarà allora verificata la disuguaglianza : 
«2 (/;2 + ^2) 
~A ,, mz niz ,, HTZ niz niz mz 
^ (bn.n cos X cos — i— V 4- b'n.n sen — - x cos — y 4- cos — - x sen -^y -r 
c d ' c d c d 
, mz niz 
-|- c «.« sen X sen — ^ v 
c d - 
< 
3, 
la quale sussiste qualunque siano i valori di h ed k, lo zero incluso. 
Così è dimostrato quanto sopra abbiamo asserito : i valori li e ìi di cui alla condi- 
zione h) possono qui essere presi ad arbitrio, ed in «, che può sempre scegliersi maggiore 
di w', si ha il cercato valore di w, 
Possiamo adunque enunciare il seguente teorema: 
Se f (x, y) è una funstone reale., ad un valore., delle variabili reali x ed y, li- 
mitata, doppiamente periodica, col periodo 2c relativo alla variabile x, col periodo 
2d relativo alla variabile y (o, e à. quantità positive); se per 'x. ed y , che soddi- 
sfano alle limitasioni : 
— C ^ X c 
— d ^ y ^ -f d 
è essa atta all’ integrasione di campo, ed all’ integrasione rispetto ad ognuna delle 
variabili per ogni valore assegnato all' altra, la serie doppia di Fourier. 
CO CO 
(9) Zj„ h^{0m,n COS %cos—^y + COS xsen y Cm,n sen — - x cos -\- 
QQ C CI c et c et 
, m: m% 
-4-c'm,nsen ;5csen — — y) 
c ci 
c 
