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Sullo sviluppo di una fmiBione reale di due variabili reali in serie ecc. 
supposta convergente rappresenta il limite^ al quale tende, quando h ^ k tendono 
comunque a sero, la : 
■+“ /*+' 
- ; 
P (x, r, h, k) — 
hkii 
t {il, v) e 
>-xVl 
\ 
du dv. 
Osserva sione : Per la validità del ragionamento dianzi svolto interessa soltanto che 
converga la serie semplice (11). Considerando questa serie al posto della serie doppia di 
Fourier si perviene quindi ad un teorema analogo, sul quale, anziché sul precedente, si 
potrebbero basare le considerazioni che seguono. Se ne dedurrebbero altrettanti teoremi, in 
cui alla serie doppia di Fourier è sempre sostituita la (11). 
5. Quanto abbiamo dianzi stabilito apre la via ai risultati, a cui in principio abbiamo 
accennato, sullo sviluppo di una funzione reale di due variabili reali in serie doppia di 
Fourier. Un primo, importante teorema, che assegna un limite superiore per il valore as- 
soluto della differenza, in un punto dato, fra la f {x, y) e la serie (9), supposta ivi con- 
vergente, si può subito, senz’ altre ipotesi, ottenere : 
S’ indichi infatti con a una quantità positiva, abbastanza grande, perchè si abbia : 
{ 12 } 
CO / * -j— OO / * u 
— (ìP -f- U) 
^ du dv — I 
— («“ -f- V'2) 
^ du dv 
ove 0 è il solito numero positivo, arbitrariamente piccolo, e U ha il significato sopra detto. 
Sarà allora a più forte ragione, qualunque siano x, y, h, k: 
F (x,y,h,k) 
’-f a 
/ (x -f- hu, y 
— a 
kv) e 
-( iF+v^) 
du dv 
Si fìssi dopo ciò una coppia di valori di x ed y che indicheremo con x ed v ; e si 
chiami con D x, y 1’ oscillazione della f (x, y) nel punto n:, y. 
Si potranno determinare due quantità positive e ed è tali che per ogni x ed y soddi- 
sfacenti alle limitazioni ; 
X — B ^ X ^ X s 
y — ^ < V < V -[- § 
risulti ; 
\ f (X, y) — f {X, y) I ^ y ■ 
s j. S 
Si ottiene così per h e k minori rispettivamente di e di — ; 
V-\-a ra y- 
— a J — a 
hu,y-\- kv) e \ du dv 
< + 
a 
T 
