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Carlo Severini 
[Memoria II. J 
e siccome si può scrivere: 
f {X, y) - 
f {x,y)e 
-('«2 + 7/*) 
du dv , 
e si ha quindi: 
/ {X, y) — 
^ u *-}- a 
i __ («-2+7/2) 
I f (x. v) e du dv 
<f 
risulta in ultimo, tutte le volte che ^ ; 
« ’ — a 
(13) (^> V, h, k) —f(x, y) j ^ D,r,.y + 3 . 
Si ha pertanto il teorema: 
Nelle ipotesi diansi dette, il valore assoluto detta differenza, in un punto dato, 
fra la serie doppia di Fourier: 
^ «17 wi: ,, «it mr: ut: tn-^ 
/Q> y V cos xcos— +(/,„,„ cos — X sen-j-j + r,n,« sen x cos — j- + 
\y' ^ ^ m C Ci C Cl C (t 
0 0 
, flT 1HT . 
+C nun sen — X Scn —^y), 
supposta convergente, e la funzione f (x, y) non supera V oscillazione della f (x, y) 
in quel punto. 
Osservazione : Dalla disuguaglianza (13), tenendo presente il risultato del § 4, si 
possono dedurre altri notevoli teoremi,, quando si ammetta la convergenza della (9) in 
ogni punto di un dato campo. Per brevità tralasciamo di enunciarli, (f) 
6. Se in particolare \a.f (x,y) è nel punto x, y continua, si ha = 0 e dalla 
(13) segue allora : 
lim F {x , y , h, k) — f {x , y) , 
h—Q 
k—O 
Si può anzi aggiungere che se la / (x, y) è continua in tutto il campo : 
— C <C X f c 
— d K y < f- d 
(*) Cfr. la mia Nota : Sulla rappresentazione delle funzioni reali eco. ; Rend. del Gire. Mat. di Palermo 
T. XIV, D900). 
