Sullo sviluppo di una funsione reale di due variabili reali in serie ecc. 
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la F {x, y, li, k) conv^erge ad essa in eguale grado, al tendere a zero di h e k, potendosi 
per un noto teorema di Caiiior determinare le quantità s e B in modo che si abbia, qua- 
lunque siano X ed 3’ : 
\[ (a + y+ rjS) — / (x,y) | < 
ove 0 ed '/] rappresentano quantità comprese fra — 1 e -]- 1. 
Si ha in questo caso il teorema : 
f (x, y) è una fmiBione reale, ad un valore, delle variabili reali x edy, fi- 
nita, assolutamente continua, doppiamente periodica col periodo 2c rispetto alla 
variabile x, col periodo 2d rispetto alla variabile y (c e d quantità positive), condi- 
zione necessaria e su fficiente affinché sia in un punto dato rappresentabile me- 
diante la serie doppia di Fourier : 
n- wx , , n~ m~ nr^ nrK 
y y n cos X cos — 3- ) -i- b'„i,n COS X sen — r-j -t- Cm,n sen x cos — 7- y + 
^ n C C « C a 
0 0 
, «X mii 
+ c ,i,_n sen X sen -j-y), 
c a 
è che tale serie risulti in quel punto convergente. 
1. Vogliamo ora vedere se, almeno sotto certe condizioni, che non importino per la 
/ (X y) la continuità, è possibile assegnare, in relazione alla / {x, y) medesima, il signi- 
ficato della serie doppia di Fourier, supposta convergente. 
Ammettiamo che la /' (x, y), ferme rimanendo le ipotesi poste al principio del § l, 
sia continua rispetto ad x e rispetto ad y. 
In tali condizioni si vede subito che la ; 
<I> (x, y, h) — 
I 
' 4 - 00 
— 
J(x,y-\-kv)e dv 
CO 
(§ 2) è, per ogni y e k fissi {k 0) continua rispetto ad x : tale è infatti, se s’ indica 
con d una quantità positiva qualsivoglia, la funzione rappresentata dall’ integrale : 
j/x 
I f {X,y -h kv) e 
J — à 
dv (*; 
che al tendere di d all’ infinito, converge in egual grado a $ {x, y, k) per tutti i valori 
di X, y, e k. 
Riprendendo allora la; 
F (x, y, h, k) 
hi ^ 
/ C> (x, y, k) e ' ^ 
du 
(*) Cfr., Ar\elà : Sulle serie di funzioni; 1 . c. Parte seconda. § 19. 
