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Carlo Severini 
[Memoria 11.1 
se ne deduce, per ogni x, _v e ^ (/t >> 0) ; 
lim F (x, h, k) = (]) (x, V, k). 
h — o 
Si ha inoltre per ogni x : 
lim (t) (x, V, k) = f (x, v) 
k — Q 
sicché risulta in ultimo ; 
lim lim F (X, V, /;, k) f (x, v) 
k—Q h~o 
Da ciò, per il risultate; del i; 4, si deduce il seguente teorema, che è una generaliz- 
zazione di quello enunciato al ^ 6. 
Se f (x, y) è una fuiiBìone reale , ad un valore, delle variabili reali x ed y, 
continua rispetto ad ognuna di queste ; limitata, doppiamente periodica, col periodo 
2c rispetto ad x e col periodo 4d rispetto ad y, {c e d quantità positive) atta all’in- 
tegrasione di campo per x e y, che soddisfano alle limitasioni : 
— c < .V < -|- c 
— d < y <_ f- d , 
condizione necessaria e sufficiente affinchè in un punto dato sia rappresentabile 
mediante la serie doppia di Fourier 
^ nn nm , ,, inz un m: m-z 
V V {'hii n cos — X cos — ; — r -f- /> „ cos X sen —y v + c sen — x cos — r- y -I- 
n m ’ c rf ' c d - c a ^ 
0 0 
, nz uizL 
c sen X cos —y y) 
c d 
è che tale serie risulti in quel punto convergente. 
8. Passiamo ora ad un aìlio caso notevole. 
Supponiamo che in un punto assegnato x y la f (x y) , per la quale s’ intendono 
sempre soddisfatte le condizioni del § 1, ammetta un limite determinato e finito quando 
il punto X, y tende ad x y , muovendosi lungo un raggio uscente da questo ; in altri 
termini, posto 
X = x' -f- p cos 6 , y z=:y' p sen 0 , 
per ogni 6 fisso esista il 
lim f (x' A- p cos 6 , y + p sen d) = <p (d). 
p = o 
Supponiamo ancora che per tutti i valori di 0 nell’ intervallo (0 . . . 2i:) , eccettuati 
al più quelli di un insieme rinchiudibile, la convergenza della f (x' -j- p cos ^,y ffi ^ sen 6) 
verso f (6) sia uniforme. Esprimeremo ciò dicendo che detta convergenza è neU’intervallo 
(0 . . . 2iC) generalmente uniforme. 
